Forma Differenziale
ragazzi ho
$omega=log|x+y|dx+(1+log|x+y|)dy$
Determinare la primitiva di $omega$ che si annulla in (0;-1) e indicarne l’insieme di definizione.
ora so che $omega$ è definita per $x=/y$ quindi per tutto $R^2$ tranne le bisettrici, posso eliminare i valori assoluti studiando la forma differenziale tra le bisettrici del terzo e del quarto quadrante?
$omega=log|x+y|dx+(1+log|x+y|)dy$
Determinare la primitiva di $omega$ che si annulla in (0;-1) e indicarne l’insieme di definizione.
ora so che $omega$ è definita per $x=/y$ quindi per tutto $R^2$ tranne le bisettrici, posso eliminare i valori assoluti studiando la forma differenziale tra le bisettrici del terzo e del quarto quadrante?
Risposte
Direi di sì. Ricorda solo di segnare poi il dominio corretto.
ma quindi quando tolgo il valore assoluto i segni di x e y non andranno cambiati?
Certo che andranno cambiati. Scelto il dominio, dovrai togliere il valore assoluto e mettere i segni giusti in modo che l'argomento del logaritmo resti $\geq 0$. Fai quindi attenzione alla scelta del dominio appunto, in modo da avere un cambio di segni che ti garantisce l'esistenza della funzione ovunque (sul dominio, chiaramente).
ok, chiaro, ma visto che devo trovare una primitiva che si annulla in 0 e -1 sono costretto a studiare la forma differenziale in un dominio al quale appartiene questo punto o posso prenderne uno qualsiasi?
Sì, la tua primitiva deve essere definita in quel punto per potercela calcolare, non credi?
si era una domanda stupida, ma giusto chiarirle queste incertezze
un'ultima cosa, ho questo esercizio:
data $omega=xdx/(x^2-y^2)-(y/(x^2-y^2)+1/(y-1))dy$
devo calcolare l'integrale di $omega$ esteso all'arco orientato della parabola di equazione y=-x^2+4 i cui estremi sono nell'ordine (0,4) e (1,3)
praticamente dovrei fare una parametrizzazione della parabola ponendo x=t e quindi $gamma=(t,-t^2+4)$ con $tin[0,1]$ e quindi vado a fare l'integrale curvilineo di seconda specie, giusto?
un'ultima cosa, ho questo esercizio:
data $omega=xdx/(x^2-y^2)-(y/(x^2-y^2)+1/(y-1))dy$
devo calcolare l'integrale di $omega$ esteso all'arco orientato della parabola di equazione y=-x^2+4 i cui estremi sono nell'ordine (0,4) e (1,3)
praticamente dovrei fare una parametrizzazione della parabola ponendo x=t e quindi $gamma=(t,-t^2+4)$ con $tin[0,1]$ e quindi vado a fare l'integrale curvilineo di seconda specie, giusto?
Questa forma è esatta su un certo dominio, prova a vedere dove può esserlo e controlla se il tuo arco di parabola sta nel dominio. In questo caso non dovrebbe starci, quindi puoi calcolare l'integrale curvilineo di seconda specie lungo la curva parametrizzata $\gamma$.
ok, quindi la parametrizzazione e il procedimento che intendo fare sono corretti giusto?
Certo, anche se non garantisco sulla semplicità dei calcoli...
ahah vabbè questo è ovvio
ma quindi si può svolgere in modo più semplice?
ma quindi si può svolgere in modo più semplice?
"Aggiustando" la primitiva, ad esempio. Dovrebbe bastare un valore assoluto nell'argomento dei logaritmi e il calcolo lo puoi svolgere sfruttando le proprietà delle forme differenziali esatte.
ok capito, graie mille
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