Forma differenziale
Buongiorno a tutti, vorrei proporvi un quesito sullo studio delle forme differenziali nel caso in cui il dominio non è semplicemente connesso e quindi non si può usare il teorema di Poincarè per determinarne l'esattezza:
-primo esempio:
$omega (x,y)=[(2x)/(x^2+y^2)+1/x^2]dx+[(2y)/(x^2+y^2)+1/y^2]dy$
il dominio sarà $ A={(x,y)in R^2|x,y!= 0} $ quindi nella sua interezza non è semplicemente connesso.
Le derivate parziali incrociate coincidono e quindi la f.d. è chiusa.
adesso la mia domanda, l'esercizio chiede di calcolarne, se possibile, una primitiva che si annulla nel punto $P=(1,1)$;
posso dividere il dominio in 2 sottodomini $ A'={(x,y)in R^2|x> 0} $ e $ A''={(x,y)in R^2|x< 0} $ e considerare $"A'$ dato che è qui che si trova il punto richiesto della primitiva? Considerando solo $A'$ la f.d. ivi è chiusa ed esatta, posso calcolarne la primitiva che mi risulta $F(x,y)=log(x^2+y^2)-1/x-1/y+k$ che si annulla nel punto (1,1) con $k=-log2+2$
ragionamento corretto?
-secondo esempio:
$omega(x,y)=[(xy)/(sqrt(1-(x^2)y))+x^2]dx+[(x^2)/(2sqrt(1-(x^2)y))]dy$
il dominio sarà $ A={(x,y)in R^2|yx^2> 1} $ e cioè la parte sovrastante i due rami dell'iperbole sottostante [jxg]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[/jxg]
adesso la f.d. risulta chiusa, ma rispetto all'esercizio precedente la traccia chiede di valutare, se possibile, la forma differenziale che si annulla nel punto $P=(0,0)$, ma essendo fuori dal dominio di $omega$ come può esistere? Mi fermo quì o c'è qualche considerazione da fare che mi perdo?
Grazie a tutti per le risposte.
-primo esempio:
$omega (x,y)=[(2x)/(x^2+y^2)+1/x^2]dx+[(2y)/(x^2+y^2)+1/y^2]dy$
il dominio sarà $ A={(x,y)in R^2|x,y!= 0} $ quindi nella sua interezza non è semplicemente connesso.
Le derivate parziali incrociate coincidono e quindi la f.d. è chiusa.
adesso la mia domanda, l'esercizio chiede di calcolarne, se possibile, una primitiva che si annulla nel punto $P=(1,1)$;
posso dividere il dominio in 2 sottodomini $ A'={(x,y)in R^2|x> 0} $ e $ A''={(x,y)in R^2|x< 0} $ e considerare $"A'$ dato che è qui che si trova il punto richiesto della primitiva? Considerando solo $A'$ la f.d. ivi è chiusa ed esatta, posso calcolarne la primitiva che mi risulta $F(x,y)=log(x^2+y^2)-1/x-1/y+k$ che si annulla nel punto (1,1) con $k=-log2+2$
ragionamento corretto?
-secondo esempio:
$omega(x,y)=[(xy)/(sqrt(1-(x^2)y))+x^2]dx+[(x^2)/(2sqrt(1-(x^2)y))]dy$
il dominio sarà $ A={(x,y)in R^2|yx^2> 1} $ e cioè la parte sovrastante i due rami dell'iperbole sottostante [jxg]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[/jxg]
adesso la f.d. risulta chiusa, ma rispetto all'esercizio precedente la traccia chiede di valutare, se possibile, la forma differenziale che si annulla nel punto $P=(0,0)$, ma essendo fuori dal dominio di $omega$ come può esistere? Mi fermo quì o c'è qualche considerazione da fare che mi perdo?
Grazie a tutti per le risposte.
Risposte
"Telemaco Rino":
posso dividere il dominio in 2 sottodomini $ A'={(x,y)in R^2|x> 0} $ e $ A''={(x,y)in R^2|x< 0} $ e considerare $"A'$ dato che è qui che si trova il punto richiesto della primitiva? Considerando solo $A'$ la f.d. ivi è chiusa ed esatta, posso calcolarne la primitiva che mi risulta $F(x,y)=log(x^2+y^2)-1/x-1/y+k$ che si annulla nel punto (1,1) con $k=-log2+2$
ragionamento corretto?
Mi sembra tutto corretto
"Telemaco Rino":
adesso la f.d. risulta chiusa, ma rispetto all'esercizio precedente la traccia chiede di valutare, se possibile, la [strike]forma differenziale[/strike] primitiva che si annulla nel punto $P=(0,0)$, ma essendo fuori dal dominio di $omega$ come può esistere? Mi fermo quì o c'è qualche considerazione da fare che mi perdo?
Come dici tu, anch'io mi fermerei dato che il punto é non solo fuori dal dominio ma neanche nella sua frontiera (che magari si poteva provare a estendere la primitiva in qualche modo)...
Grazie dell'aiuto Emar
Il dominio è calcolato male. Per \((x, y)=0\) l'argomento della radice vale \(1\).
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