Forma differenziale:
Sono alle prese con una forma differenziale:
$w= ( log(x^2+y^2) + (2x^2)/(x^2+y^2)) dx + (2xy)/(x^2+y^2)dy $
Vedo che il Dominio è dato dalla condizione$ x^2+y^2>0$ . Quindi tutto$ R^2 : (x,y)!=(0,0)$ . La forma differenziale risulta essere una forma chiusa in quanto le derivate parziali incrociate sono uguali.Ora devo determinare se è esatta. Ma il dominio non è semplicemente connesso e non so come fare.
$w= ( log(x^2+y^2) + (2x^2)/(x^2+y^2)) dx + (2xy)/(x^2+y^2)dy $
Vedo che il Dominio è dato dalla condizione$ x^2+y^2>0$ . Quindi tutto$ R^2 : (x,y)!=(0,0)$ . La forma differenziale risulta essere una forma chiusa in quanto le derivate parziali incrociate sono uguali.Ora devo determinare se è esatta. Ma il dominio non è semplicemente connesso e non so come fare.
Risposte
nei casi come questo la condizione sufficiente non è verificata, quindi devi calcolare un potenziale e vedere se esiste definito su tutto il dominio. A me viene $U(x,y)=xlog(x^2+y^2)$ quindi la risposta è affermativa
Questo per definizione di forma differenziale esatta, cioè che deve ammettere una primitiva, che chiamo poi potenziale?
si esatto ma devi anche verificare che il dominio della primitiva coincida col dominio della forma differenziale, la condizione del dominio semplicemente connesso è sufficiente ma non necessaria per l'esistenza della primitiva