Forma differenziale
Data la forma: $ omega = arcsin(xy)dx-sqrt(1-x^2y^2)/y^2dy $
1. Si determini il campo di esistenza della form
2. Determinare l'integrale generale
3. Calcolare l'integrale di: $ intXdx+y^3Ydy $ esteso all'arco di circonferenza di raggio $ sqrt(2) $ e di estremi (1,1) (-1,1)
Sul punto 2 non ho trovato problemi: l'insieme delle primitive è $ {xarcsin(xy)+sqrt(1-x^2y^2)/y+c} $
I dubbi sono sul punto 1 e 3. Riguardo al punto 1 ho iniziato ad impostare:
$ { ( xy>=1 ),( 1-x^2y^2>=0 ),( y != 0):} => {(-1/y<=x<=1/y), (-1/x<= y<=1/x), (y!=0) :} $
da qui come procedere?
Riguardo il punto 3, non trattandosi di una forma esatta ho impostato l'integrale:
$ intarcsin(xy)dx-ysqrt(1-x^2y^2)dy
=> int_(pi/4)^(3/4pi) [arcsin(2costhetasintheta)(-sqrt2sintheta)+2sinthetacosthetasqrt(1-4cos^2thetasin^2theta)] d theta $
prima di svolgere l'integrale volevo sapere se è giusto come procedimento
1. Si determini il campo di esistenza della form
2. Determinare l'integrale generale
3. Calcolare l'integrale di: $ intXdx+y^3Ydy $ esteso all'arco di circonferenza di raggio $ sqrt(2) $ e di estremi (1,1) (-1,1)
Sul punto 2 non ho trovato problemi: l'insieme delle primitive è $ {xarcsin(xy)+sqrt(1-x^2y^2)/y+c} $
I dubbi sono sul punto 1 e 3. Riguardo al punto 1 ho iniziato ad impostare:
$ { ( xy>=1 ),( 1-x^2y^2>=0 ),( y != 0):} => {(-1/y<=x<=1/y), (-1/x<= y<=1/x), (y!=0) :} $
da qui come procedere?
Riguardo il punto 3, non trattandosi di una forma esatta ho impostato l'integrale:
$ intarcsin(xy)dx-ysqrt(1-x^2y^2)dy
=> int_(pi/4)^(3/4pi) [arcsin(2costhetasintheta)(-sqrt2sintheta)+2sinthetacosthetasqrt(1-4cos^2thetasin^2theta)] d theta $
prima di svolgere l'integrale volevo sapere se è giusto come procedimento
Risposte
Io direi che le condizioni giuste sono
$$-1\le xy\le 1,\quad 1-x^2 y^2\ge 0,\quad y\ne 0$$
Dopodiché, per risolvere questo sistema, devi procedere per via grafica: disegna le curve $xy=\pm 1,\ y=0$ (nota che le prime due condizioni coincidono) e ragiona su quali semipiani considerare (i sistemi di disequazioni in due incognite si risolvono graficamente).
Per il punto 3, mi pare che la circonferenza sia effettivamente la seguente $x^2+y^2=2$. Passando alla sua parametrizzazione, mi sembra anche corretto che $\theta\in[\pi/4,{3\pi}/4]$.
Per integrare, mi sembra tu possa fare una sostituzione più che ovvia...
$$-1\le xy\le 1,\quad 1-x^2 y^2\ge 0,\quad y\ne 0$$
Dopodiché, per risolvere questo sistema, devi procedere per via grafica: disegna le curve $xy=\pm 1,\ y=0$ (nota che le prime due condizioni coincidono) e ragiona su quali semipiani considerare (i sistemi di disequazioni in due incognite si risolvono graficamente).
Per il punto 3, mi pare che la circonferenza sia effettivamente la seguente $x^2+y^2=2$. Passando alla sua parametrizzazione, mi sembra anche corretto che $\theta\in[\pi/4,{3\pi}/4]$.
Per integrare, mi sembra tu possa fare una sostituzione più che ovvia...
"ciampax":
Io direi che le condizioni giuste sono
$$-1\le xy\le 1,\quad 1-x^2 y^2\ge 0,\quad y\ne 0$$
Dopodiché, per risolvere questo sistema, devi procedere per via grafica: disegna le curve $xy=\pm 1,\ y=0$ (nota che le prime due condizioni coincidono) e ragiona su quali semipiani considerare (i sistemi di disequazioni in due incognite si risolvono graficamente).
Per il punto 3, mi pare che la circonferenza sia effettivamente la seguente $x^2+y^2=2$. Passando alla sua parametrizzazione, mi sembra anche corretto che $\theta\in[\pi/4,{3\pi}/4]$.
Per integrare, mi sembra tu possa fare una sostituzione più che ovvia...
La ringrazio per il chiarimento riguardo al dominio. Riguardo l'integrale mi sembra che la mia impostazione quindi sia corretta in base a quanto da lei detto. Sostituisco $ 2costhetasintheta=sin2theta $ e poi procedo, sperando di uscirne fuori?
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