Flusso uscente dalla superficie laterale di una piramide
$ Dsube R^2 $ piramide a base triangolare di spigoli $ (0,0,0); (1,0,0); (0,2,0); (0,1,2) $ .
Sia $ f(x,y,z)=( ( 3y-x ),( z^2-x ),( x-3z ) ) $ campo vettoriale in $ R^3 $ . Calcolare il flusso uscente dalla superficie laterale della piramide.
SVOLGIMENTO
Utilizzo il teorema della divergenza.
$ int int int_(C)Div(F) dx dy dz $ calcolo la $ Div(F)=( ( -1 , 3 , 0 ),( -1 , 0 , 2z ),( 1 , 0 , -3 ) )=-4 $ .
E adesso che devo fare? Almeno la strada intrapresa è giusta?
Sia $ f(x,y,z)=( ( 3y-x ),( z^2-x ),( x-3z ) ) $ campo vettoriale in $ R^3 $ . Calcolare il flusso uscente dalla superficie laterale della piramide.
SVOLGIMENTO
Utilizzo il teorema della divergenza.
$ int int int_(C)Div(F) dx dy dz $ calcolo la $ Div(F)=( ( -1 , 3 , 0 ),( -1 , 0 , 2z ),( 1 , 0 , -3 ) )=-4 $ .
E adesso che devo fare? Almeno la strada intrapresa è giusta?
Risposte
Adesso devi fare l'integrale. La divergenza comunque è la traccia di quella matrice, non la matrice.
"killing_buddha":
Adesso devi fare l'integrale. La divergenza comunque è la traccia di quella matrice, non la matrice.
si, scusami mi ero dimenticato di scriverla... correggo...
Avevo capito di dover fare l'integrale
ma non so come parametrizzare, come applicare la cosa insomma per fare in modo di avere il flusso dalle superfici laterali...
Facendo un disegno (o comunque immaginando come sia fatta questa piramide più o meno), risulta chiaro che una possibile parametrizzazione è:
\[ \mathcal{D} := \left \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \; | \; 0 \leq x \leq 1, \ 0 \leq y \leq -2x + 2, \ 0 \leq z \leq y \right \} \]
Dunque:
\[ \begin{aligned} \Phi_{\partial \mathcal{D}} \left ( \overrightarrow F \right ) &= \underset{ \mathcal{D}} {\iiint} \overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow F \; \text{d} x \; \text{d} y \; \text{d} z \\ &= -4\underset{ \mathcal{D}} {\iiint} \text{d} x \; \text{d} y \; \text{d} z \\ &= -4 \int_{0}^1 \left ( \int_{0}^{-2x + 2} \left ( \int_{0}^{y} \text{d} z \right ) \; \text{d} y \right ) \; \text{d} x \\ &= - \frac{8}{3} \end{aligned}\]
D'altra parte, notando che:
\[ \underset{ \mathcal{D}} {\iiint} \text{d} x \; \text{d} y \; \text{d} z = \left | \mathcal{D} \right | \]
non era necessario integrare. Infatti, la piramide di area di base \( A = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1 \) e altezza \( h = 2 \), ha volume pari a \( V = \frac{A h}{3} = \frac{2}{3} \). Quindi si poteva concludere da considerazioni puramente geometriche che:
\[ \Phi_{\partial \mathcal {D}} \left ( \overrightarrow F \right ) = -4 V = - \frac{8}{3} \]
EDIT: v. sotto
\[ \mathcal{D} := \left \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \; | \; 0 \leq x \leq 1, \ 0 \leq y \leq -2x + 2, \ 0 \leq z \leq y \right \} \]
Dunque:
\[ \begin{aligned} \Phi_{\partial \mathcal{D}} \left ( \overrightarrow F \right ) &= \underset{ \mathcal{D}} {\iiint} \overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow F \; \text{d} x \; \text{d} y \; \text{d} z \\ &= -4\underset{ \mathcal{D}} {\iiint} \text{d} x \; \text{d} y \; \text{d} z \\ &= -4 \int_{0}^1 \left ( \int_{0}^{-2x + 2} \left ( \int_{0}^{y} \text{d} z \right ) \; \text{d} y \right ) \; \text{d} x \\ &= - \frac{8}{3} \end{aligned}\]
D'altra parte, notando che:
\[ \underset{ \mathcal{D}} {\iiint} \text{d} x \; \text{d} y \; \text{d} z = \left | \mathcal{D} \right | \]
non era necessario integrare. Infatti, la piramide di area di base \( A = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1 \) e altezza \( h = 2 \), ha volume pari a \( V = \frac{A h}{3} = \frac{2}{3} \). Quindi si poteva concludere da considerazioni puramente geometriche che:
\[ \Phi_{\partial \mathcal {D}} \left ( \overrightarrow F \right ) = -4 V = - \frac{8}{3} \]
EDIT: v. sotto
Ti ringrazio infinitamente per l'esposizione molto chiara è comprensibile. Le mie difficoltà sono dovute proprio alla parametrizzazione. Mi spiego meglio. Se io ad esempio volessi calcolare il flusso uscente soltanto dalla base come faccio a "comandarlo" all'integrale? Il mio libro è alquanto criptico. Quando scrivi "disegnando o almeno immaginando più o meno come dovrebbe essere".... ecco è proprio quello che a volte mi manca.
Cioè io ho provato a disegnare qualitativamente la piramide (4 quadretti=una unità):
la X è compresa tra 0 e 1 e ok lo, capisco, la y varia tra Y=0 e la retta Y=-2x+2 e credo tu abbia usato la formula della retta passante per 2 punti (anche qui come scelgo quali?), ma la Z come mai dici che varia tra 0 e Y? non varia anch'essa tra 0 e 2? Sono questi i miei dubbi il resto l'ho capito abbastanza bene. Mi scuso se le mie sono domande banali.
Cioè io ho provato a disegnare qualitativamente la piramide (4 quadretti=una unità):
la X è compresa tra 0 e 1 e ok lo, capisco, la y varia tra Y=0 e la retta Y=-2x+2 e credo tu abbia usato la formula della retta passante per 2 punti (anche qui come scelgo quali?), ma la Z come mai dici che varia tra 0 e Y? non varia anch'essa tra 0 e 2? Sono questi i miei dubbi il resto l'ho capito abbastanza bene. Mi scuso se le mie sono domande banali.
Aspetta, mi sono lasciato trasportare dal tuo svolgimento e non ho messo in chiaro una cosa. Se stiamo considerando soltanto il flusso attraverso la superficie laterale, non si può usare il teorema della divergenza; infatti, si può usare soltanto su superfici chiuse. Tuttavia, si può comunque sfruttare notando che, per la linearità dell'integrale:
\[ \Phi_{\partial \mathcal{D}} \left (\overrightarrow F \right ) = \Phi_{\partial_B \mathcal{D}} \left ( \overrightarrow F \right ) + \Phi_{\partial_L \mathcal{D}} \left ( \overrightarrow F \right ) \]
dove \( \Phi_{\partial_{B} \mathcal{D}} \left ( \overrightarrow F \right ) \) è il flusso del campo attraverso la base, e \( \Phi_{\partial_{L} \mathcal{D}} \left ( \overrightarrow F \right ) \) è il flusso del campo attraverso la superficie laterale. D'altra parte:
\[ \begin{aligned} \Phi_{\partial_{B} \mathcal{D}} \left ( \overrightarrow F \right ) &= \underset{ B} {\iint} \overrightarrow F \cdot \hat n_B \; \text{d} b \\ &=- \int_{0}^{1} \left (\int_0^{-2x+2} x \; \text{d} y \right ) \; \text{d} x \\ &= -\frac{1}{3} \end{aligned} \]
Quindi:
\[ \Phi_{\partial_L \mathcal{D}} \left ( \overrightarrow F \right ) = \Phi_{\partial \mathcal{D}} \left ( \overrightarrow F \right ) - \Phi_{\partial_B \mathcal{D}} \left ( \overrightarrow F \right ) = -\frac{7}{3}\]
\[ \Phi_{\partial \mathcal{D}} \left (\overrightarrow F \right ) = \Phi_{\partial_B \mathcal{D}} \left ( \overrightarrow F \right ) + \Phi_{\partial_L \mathcal{D}} \left ( \overrightarrow F \right ) \]
dove \( \Phi_{\partial_{B} \mathcal{D}} \left ( \overrightarrow F \right ) \) è il flusso del campo attraverso la base, e \( \Phi_{\partial_{L} \mathcal{D}} \left ( \overrightarrow F \right ) \) è il flusso del campo attraverso la superficie laterale. D'altra parte:
\[ \begin{aligned} \Phi_{\partial_{B} \mathcal{D}} \left ( \overrightarrow F \right ) &= \underset{ B} {\iint} \overrightarrow F \cdot \hat n_B \; \text{d} b \\ &=- \int_{0}^{1} \left (\int_0^{-2x+2} x \; \text{d} y \right ) \; \text{d} x \\ &= -\frac{1}{3} \end{aligned} \]
Quindi:
\[ \Phi_{\partial_L \mathcal{D}} \left ( \overrightarrow F \right ) = \Phi_{\partial \mathcal{D}} \left ( \overrightarrow F \right ) - \Phi_{\partial_B \mathcal{D}} \left ( \overrightarrow F \right ) = -\frac{7}{3}\]
Figurati, hai fatto anche troppo, sei stato gentilissimo. Tra l'altro i risultati che ho nel test sono
a)7/32
b)-7/3
c)-8
d)7/2 pi greco
Quindi boh, vedrò di capirci qualcosa sennò andrò a ricevimento....
a)7/32
b)-7/3
c)-8
d)7/2 pi greco
Quindi boh, vedrò di capirci qualcosa sennò andrò a ricevimento....
Infatti ho dimenticato che fosse uscente il flusso. Ci vuole un \(-\) nel flusso della base. Il risultato è \( -\frac{7}{3} \). Infatti, il versore normale della base è \( (0,0,-1) \), non \( (0,0,1) \).
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