Flusso uscente dalla frontiera di un cilindro solido

[Jack871]

Ciao.

Si consideri il campo vettoriale

$F = (2xy^2, 2x^2y, (x^2+y^2)z^2)^T$

e la superficie $Sigma$, frontiera del cilindro solido $E = {(x, y, z) in RR^3 : x^2+y^2 <= 4, 0<=z<=2}$.
Si calcoli il flusso di $F$ uscente da $Sigma$.

Per risolvere l'esercizio uso il teorema della divergenza (di Gauss):

$int int int_(E) \text{div} F \ dx \ dy \ dz = int int_(Sigma) F \cdot N \ d sigma$

Seguendo la "prima strada" del teorema, calcolando cioè l'integrale triplo su $E$ della divergenza di $F$, trovo senza problemi la soluzione corretta dell'esercizio, ossia

$int int int_(E) \text{div} F \ dx \ dy \ dz = 64 pi$

Ora, per ulteriore esercizio, voglio seguire anche l'altra strada, quindi calcolare effettivamente il flusso di $F$ attraverso $Sigma$.

Parametrizzo $Sigma$:

$r : D = [0,2pi]xx[0,2] to RR^3$

$r(u,v) = (2 cos u, 2 sin u, v)^T$

Ricordando che

$N = {r_u xx r_v}/{||r_u xx r_v||}$

$d sigma = ||r_u xx r_v|| \ du \ dv$

Si ha

$int int_(Sigma) F \cdot N \ d sigma = int int_(D) F(r(u,v)) \cdot (r_u xx r_v) \ du \ dv$

Facendo i conti

$F(r(u,v)) = (16 cos u sin^2 u, 16 cos^2 u sin u, 4v^2)^T$

$r_u xx r_v = (2 cos u, 2 sin u, 0)^T$

Dunque

$int int_(D) F(r(u,v)) \cdot (r_u xx r_v) \ du \ dv = int_0^2 int_0^{2 pi} (32 cos^2 u sin^2 u + 32 cos^2 u sin^2 u) \ du \ dv$

$= 64 int_0^2 int_0^{2 pi} (cos u sin u)^2 \ du \ dv = 64 int_0^2 int_0^{2 pi} ({sin 2u}/2)^2 \ du \ dv$

$= 64/4 1/2 int_0^2 int_0^{2 pi} sin^2 2u \ 2 \ du \ dv = 64/8 int_0^2 [{2u - sin 2u cos 2u}/2]_0^{2 pi} \ dv$

$= 64/8 int_0^2 {4 pi}/2 \ dv = 64/4 pi \ [v]_0^2 = 64/4 pi \ 2 = 32 pi$

Che purtroppo non è la soluzione corretta, ma esattamente la metà. Spero si tratti solo di un errore di calcolo.

Grazie.

[Pierlu11]

E' tutto corretto, manca solo il flusso uscente dalle due basi del cilindro.