Flusso uscente da un...volume!?
Buongiorno a tutti, ho un classico esercizio sul calcolo del flusso da sottoporvi.
Inizia così, dice che abbiamo a che fare con un campo $F=(1-y e^y, e^x+y,z+y^2) $ uscente da E dove $E={(x,y,z) : z<=x^2+y^2, 1<=z<=9}$
il secondo punto poi chiede di calcolare il flusso uscente dalla sola porzione $E={(x,y,z) : z=x^2+y^2, 1<=z<=9}$
Ora è chiaro che c'è una domanda trabocchetto o qualcosa del genere. Quando mi chiede nel primo caso di calcolare il flusso uscente da E con i $<=$, sta ovviamente chiedendo di calcolare il flusso che esce dalla SUPERFICIE di quell'insieme (in questo caso un paraboloide compreso di tappi in z=1 e z=9). Vorrei che mi confermaste questa banalità. Il flusso da un volume non significa niente, giusto? Salvo avere un campo con 4 componenti e un insieme in 4D, allora sì. Ma in questo caso devo considerare in entrambi i casi il flusso attraverso la loro superficie.
Allora qual è la differenza? Ci ho pensato un po' e sono giunto alla conclusione che la domanda chiede in un modo un po' nascosto di calcolare nel primo caso il flusso uscente dalla superficie completa di tappi e nel secondo caso solo dalla superficie "laterale" del paraboloide.
Questo è un thread un po' insolito forse. Quello che vorrei sapere è se ho scritto castronerie. È importante che io abbia capito esattamente la questione e sappia di cosa sto parlando.
Mi confermate che ho detto solo cose esatte?
Grazie
edit:
Il primo punto si risolve applicando il teorema della divergenza (che in questo caso viene banalmente 2) e calcolando
$ 2piint_1^9dzint_0^{sqrt(z)} rho drho = 80 pi $
il secondo punto invece non mi viene. Io parametrizzerei i due cerchi $x^2+y^2=1$ e $x^2+y^2=9$ con una roba del tipo
$ Phi_k(mu, nu)=(mu,nu,k) $ con k=1 o 9 nei due casi, quindi riscrivo $F(Phi(mu,nu))$ e applico la definizione di flusso trovando $ int| ( F_1(Phi_k(mu,nu)) , 1 , 0 ),( F_2(Phi_k(mu,nu)) , 0 , 1 ),( F_3(Phi_k(mu,nu)) , 0 , 0 ) | dmu dnu $ trovando per i due k $5/4 k^2 pi$.
Tutto molto bello senonchè la loro somma viene superiore a quanto trovato nel punto precedente, il che è sbagliato poichè diminuendo la superficie da cui calcolo il flusso dovrebbe diminuire anche il flusso. Che succede?
Lo so ci sono mille domande. Se mi volete aiutare vi ringrazio, sennò (con l'analisi) ci rivediamo a settembre [size=50]o mai più[/size] . Ciao a tutti e grazie in anticipo.
Inizia così, dice che abbiamo a che fare con un campo $F=(1-y e^y, e^x+y,z+y^2) $ uscente da E dove $E={(x,y,z) : z<=x^2+y^2, 1<=z<=9}$
il secondo punto poi chiede di calcolare il flusso uscente dalla sola porzione $E={(x,y,z) : z=x^2+y^2, 1<=z<=9}$
Ora è chiaro che c'è una domanda trabocchetto o qualcosa del genere. Quando mi chiede nel primo caso di calcolare il flusso uscente da E con i $<=$, sta ovviamente chiedendo di calcolare il flusso che esce dalla SUPERFICIE di quell'insieme (in questo caso un paraboloide compreso di tappi in z=1 e z=9). Vorrei che mi confermaste questa banalità. Il flusso da un volume non significa niente, giusto? Salvo avere un campo con 4 componenti e un insieme in 4D, allora sì. Ma in questo caso devo considerare in entrambi i casi il flusso attraverso la loro superficie.
Allora qual è la differenza? Ci ho pensato un po' e sono giunto alla conclusione che la domanda chiede in un modo un po' nascosto di calcolare nel primo caso il flusso uscente dalla superficie completa di tappi e nel secondo caso solo dalla superficie "laterale" del paraboloide.
Questo è un thread un po' insolito forse. Quello che vorrei sapere è se ho scritto castronerie. È importante che io abbia capito esattamente la questione e sappia di cosa sto parlando.
Mi confermate che ho detto solo cose esatte?
Grazie
edit:
Il primo punto si risolve applicando il teorema della divergenza (che in questo caso viene banalmente 2) e calcolando
$ 2piint_1^9dzint_0^{sqrt(z)} rho drho = 80 pi $
il secondo punto invece non mi viene. Io parametrizzerei i due cerchi $x^2+y^2=1$ e $x^2+y^2=9$ con una roba del tipo
$ Phi_k(mu, nu)=(mu,nu,k) $ con k=1 o 9 nei due casi, quindi riscrivo $F(Phi(mu,nu))$ e applico la definizione di flusso trovando $ int| ( F_1(Phi_k(mu,nu)) , 1 , 0 ),( F_2(Phi_k(mu,nu)) , 0 , 1 ),( F_3(Phi_k(mu,nu)) , 0 , 0 ) | dmu dnu $ trovando per i due k $5/4 k^2 pi$.
Tutto molto bello senonchè la loro somma viene superiore a quanto trovato nel punto precedente, il che è sbagliato poichè diminuendo la superficie da cui calcolo il flusso dovrebbe diminuire anche il flusso. Che succede?
Lo so ci sono mille domande. Se mi volete aiutare vi ringrazio, sennò (con l'analisi) ci rivediamo a settembre [size=50]o mai più[/size] . Ciao a tutti e grazie in anticipo.
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