Flusso uscente da una sfera

[massimino's]

Stavo leggendo le dispense del mio professore di analisi II e in particolare questo esempio:

Mi sono chiesto cosa accada generalizzando al caso in cui la carica non sia nel centro. Tuttavia rispontro dei problemi nel cercare di parametrizzare $F(\vecx)=kq\vecx/|vecx|^3$ poiché mettiamo sia traslata in un punto $\vecx_c$ la carica. In tal caso avrei

$F=(kq(x_c+x)/(|\vecx|^3),...,...)$

e a questo punto non riesco bene a parametrizzare in coordinate sferiche perché se sfrutto le coordinate sferiche traslate poi gli angoli non corrispondono più agli angoli della superficie sferica su cui integro, in F avrei degli angoli rispetto alcentro $(x_c,y_c,z_c)$

Non so se mi sono molto spiegato nel dubbio

Grazie per l'aiuto

[l'abatefarina]

la risposta "fisica" è che per il teorema di Gauss il risultato non cambia

[gugo82]

La risposta "matematica" è il risultato non cambia per il teorema della divergenza.

Se $S=partial B(x,R)$ è la superficie sferica traslata e se $R>|x|$ (cosicché il punto singolare $0$ è interno ad $S$), scegli un $epsilon >0$ "piccolo" (in particolare $
$Phi(mathbf(F), partial Omega) = int_Omega "div" mathbf(F) \quad <=>\quad Phi(mathbf(F), S) - Phi(mathbf(F), S_epsilon) = 0$

in cui $Phi(*,*)$ denota il flusso uscente da una superficie, $S_epsilon = partial B(0,epsilon)$ e l'integrale all'ultimo membro è nullo perché $mathbf(F)$ ha divergenza nulla; dall'ultima uguaglianza segue:

$Phi(mathbf(F), S) = Phi(mathbf(F), S_epsilon) = 4 pi k q$.

Se, invece, $R<|x|$ (ossia se $0$ è esterno ad $S$) il teorema della divergenza si applica subito e fornisce:

$Phi(mathbf(F), S)=0$.

[massimino's]

"gugo82":La risposta "matematica" è il risultato non cambia per il teorema della divergenza.

Se $S=partial B(x,R)$ è la superficie sferica traslata e se $R>|x|$ (cosicché il punto singolare $0$ è interno ad $S$), scegli un $epsilon >0$ "piccolo" (in particolare $
$Phi(mathbf(F), partial Omega) = int_Omega "div" mathbf(F) \quad <=>\quad Phi(mathbf(F), S) - Phi(mathbf(F), S_epsilon) = 0$

in cui $Phi(*,*)$ denota il flusso uscente da una superficie, $S_epsilon = partial B(0,epsilon)$ e l'integrale all'ultimo membro è nullo perché $mathbf(F)$ ha divergenza nulla; dall'ultima uguaglianza segue:

$Phi(mathbf(F), S) = Phi(mathbf(F), S_epsilon) = 4 pi k q$.

Se, invece, $R<|x|$ (ossia se $0$ è esterno ad $S$) il teorema della divergenza si applica subito e fornisce:

$Phi(mathbf(F), S)=0$.

Cercavo proprio una risposta del genere e non ci avevo pensato, grazie mille gugo82.


Nel mentre mi piacerebbe chiederti/vi, ma se io avessi anziché quel singolo punto singolare di carica un numero "n" di cariche? Come lo generalizzo in tal caso?

[l'abatefarina]

il flusso totale è la somma dei singoli flussi delle cariche e quindi il risultato è uguale alla somma delle cariche interne diviso $epsilon$

[massimino's]

"l'abatefarina":il flusso totale è la somma dei singoli flussi delle cariche e quindi il risultato è uguale alla somma delle cariche interne diviso $epsilon$

No ma fisicamente lo so , è solo che vorrei dimostrarlo matematicamente usando i teoremi come ha fatto gugo82 (edit: prima dell'edit ho avuto un lapsus e ti ho chiamato google82 lol).

[l'abatefarina]

ma anche matematicamente adesso è evidente
se hai due campi vettoriali , il flusso della loro somma è la somma dei singoli flussi; deriva dalla definizione di flusso
$(vecF+vecN) \cdot vec(dS)=vecF \cdotvec (dS)+vecN \cdot vec(dS)$
quindi , $n$ cariche creano $n$ campi vettoriali (campi elettrici) ; matematicamente già ti hanno dimostrato quanto vale il flusso del campo elettrico generato dalla singola carica, distinguendo il caso carica interna dal caso carica esterna
che c'è da dire ancora?
la parte impegnativa già l'ha fatto gugo nel suo post

[massimino's]

Grazie!

[alifasi]

"gugo82":La risposta "matematica" è il risultato non cambia per il teorema della divergenza.

Se $S=partial B(x,R)$ è la superficie sferica traslata e se $R>|x|$ (cosicché il punto singolare $0$ è interno ad $S$), scegli un $epsilon >0$ "piccolo" (in particolare $
$Phi(mathbf(F), partial Omega) = int_Omega "div" mathbf(F) \quad <=>\quad Phi(mathbf(F), S) - Phi(mathbf(F), S_epsilon) = 0$

in cui $Phi(*,*)$ denota il flusso uscente da una superficie, $S_epsilon = partial B(0,epsilon)$ e l'integrale all'ultimo membro è nullo perché $mathbf(F)$ ha divergenza nulla; dall'ultima uguaglianza segue:

$Phi(mathbf(F), S) = Phi(mathbf(F), S_epsilon) = 4 pi k q$.

Se, invece, $R<|x|$ (ossia se $0$ è esterno ad $S$) il teorema della divergenza si applica subito e fornisce:

$Phi(mathbf(F), S)=0$.

Vorrei chiedere una delucidazione, non ho ben capito perché scegliamo la singolarità in zero. Mi sembra l'OP chiedesse cosa accade quando la singolarità NON è nell'origine e, in tal caso, come si dimostri che il risultato di Gauss è il medesimo,perché riscontro lo stesso problema di massimo e non capisco come parametrizzare con le sferiche traslate.

Mi sembra che così facendo si sia solo traslata la superficie sferica, ma non la carica/singolarità in un punto che non fosse l'origine.

Ad ogni modo, anche se non lo stessechiededno l'OPmi piacerebbe chiedere. Se la singolarità non si trova in (0,0,0) ma in un altro punto, in tal caso, come dimostro la validità del teorema di gauss? Grazie per i chiarimenti

[gugo82]

Beh, si può sempre scegliere il riferimento con la carica nell'origine degli assi, quindi il problema non si pone.

[dissonance]

"massimino's":gugo82 ([...] ti ho chiamato google82 lol).

[alifasi]

"gugo82":Beh, si può sempre scegliere il riferimento con la carica nell'origine degli assi, quindi il problema non si pone.

Grazie Mi ero incaponito a traslare la parametrizzazione a tutti i costi.