Flusso uscente
Buongiorno vorrei proporvi un altro esercizio e chiedervi in merito ad un dubbio che ho avuto risolvendo questo esercizio:
Sia $ Omega = {(x,y,z) in R^3 | x^2 + y^2 + z^2 <= 16 , z <= sqrt(x^2 +y^2} $
Sia $ F : R^3 rarr R^3 $ il campo definito da
$ F(x,y,z) = (zy^2 - 2x, 1/4 yz +z^2, xy + 2x^2 + 2z) $
Calcolare flusso di $ F $ uscente da $ Omega $
Io l'ho risolto come segue:
$ Omega $ è dato dall'intersezione tra una sfera di raggio 4 e un cono
Uso il teorema della divergenza calcolando $ Phi = intintint "div"F dxdydz $
quindi ho calcolato $ "div"F = 1/4 z $
Integro per fili lungo z
$ Phi = intint_(D) int_(0)^(sqrt(x^2 + y^2)) 1/4 z dz $
Ottenendo
$ Phi = 1/4 intint_(D) (x^2 + y^2) / 2 dx dy $
Ora data la forma del dominio passo in coordinate polari, dal dominio sostituendo la seconda equazione nella prima ottengo una circonferenza definita da $ x^2 + y^2 = 8 $
Quindi attraverso le coordinate polari ottengo che
$ { ( 0 <= R<= sqrt(8) ),( 0 <= vartheta <= 2pi ):} $
L'integrale con le nuove coordinate mi diventa
$ Phi = 1/4 int_(0)^(sqrt(8)) R^3 /2 dR int_(0)^(2pi ) dvartheta $
Ottenendo alla fine $ Phi = 4pi $
Il risultato deve essere invece $ Phi = -8pi $
Ho riguardato i calcoli ma mi sembrano tutti giusti, il mio dubbio è che abbia sbagliato qualcosa nel determinare gli estremi di integrazione di Z nella prima integrazione.
Sia $ Omega = {(x,y,z) in R^3 | x^2 + y^2 + z^2 <= 16 , z <= sqrt(x^2 +y^2} $
Sia $ F : R^3 rarr R^3 $ il campo definito da
$ F(x,y,z) = (zy^2 - 2x, 1/4 yz +z^2, xy + 2x^2 + 2z) $
Calcolare flusso di $ F $ uscente da $ Omega $
Io l'ho risolto come segue:
$ Omega $ è dato dall'intersezione tra una sfera di raggio 4 e un cono
Uso il teorema della divergenza calcolando $ Phi = intintint "div"F dxdydz $
quindi ho calcolato $ "div"F = 1/4 z $
Integro per fili lungo z
$ Phi = intint_(D) int_(0)^(sqrt(x^2 + y^2)) 1/4 z dz $
Ottenendo
$ Phi = 1/4 intint_(D) (x^2 + y^2) / 2 dx dy $
Ora data la forma del dominio passo in coordinate polari, dal dominio sostituendo la seconda equazione nella prima ottengo una circonferenza definita da $ x^2 + y^2 = 8 $
Quindi attraverso le coordinate polari ottengo che
$ { ( 0 <= R<= sqrt(8) ),( 0 <= vartheta <= 2pi ):} $
L'integrale con le nuove coordinate mi diventa
$ Phi = 1/4 int_(0)^(sqrt(8)) R^3 /2 dR int_(0)^(2pi ) dvartheta $
Ottenendo alla fine $ Phi = 4pi $
Il risultato deve essere invece $ Phi = -8pi $
Ho riguardato i calcoli ma mi sembrano tutti giusti, il mio dubbio è che abbia sbagliato qualcosa nel determinare gli estremi di integrazione di Z nella prima integrazione.
Risposte
se ho capito bene,hai considerato solo $0leqzleqsqrt(x^2+y^2)$ in corrispondenza di $x^2+y^2leq8$
ma,in questo modo non hai tutto $Omega$ : devi considerare anche $0leqzleqsqrt(16-x^2-y^2)$ in corrispondenza di $8leqx^2+y^2leq16$
ma,in questo modo non hai tutto $Omega$ : devi considerare anche $0leqzleqsqrt(16-x^2-y^2)$ in corrispondenza di $8leqx^2+y^2leq16$
Quindi in questo modo divido $ Omega $ in due parti e calcolo due integrali giusto?
il primo integrale triplo rimane come ho fatto poi sommo un secondo integrale triplo in cui $ 0 <= z <= sqrt(16 - x^2 -y^2) $
e poi successivamente parametrizzando in coordinate polari ottengo che $ sqrt(8) <= R <= 4 $ , così dovrebbe avere più senso giusto?
il primo integrale triplo rimane come ho fatto poi sommo un secondo integrale triplo in cui $ 0 <= z <= sqrt(16 - x^2 -y^2) $
e poi successivamente parametrizzando in coordinate polari ottengo che $ sqrt(8) <= R <= 4 $ , così dovrebbe avere più senso giusto?
giusto,almeno così mi pare
Ho provato a rifare l'esercizio, considerando due integrali separati, vengono entrambi $ 4pi $ che sommati danno $ 8pi $ però qui viene positivo mentre il risultato è negativo.
Però c'è una cosa che non mi torna, non capisco nella definizione degli estremi di integrazione del secondo integrale come faccio a dire che $ 8 <= x^2 + y^2 <= 16 $
Però c'è una cosa che non mi torna, non capisco nella definizione degli estremi di integrazione del secondo integrale come faccio a dire che $ 8 <= x^2 + y^2 <= 16 $
Penso di aver capito, praticamente da come è definito il dominio ho una sfera in cui si interseca un cono a base circolare.
Quindi io spezzo l'integrale triplo in 2 parti:
la prima parte è quella compresa all'interno del cono, dal vertice nell'origine fino all'intersezione con la sfera, in cui mi trovo una base circolare di raggio $ sqrt(8) $
successivamente mi rimane una calotta sferica che ha come base la circonferenza di prima e come raggio il raggio della sfera. Quindi anzichè partire da 0 in quando considererei la semisfera, parto da $ sqrt(8) $ e arrivo a 4 in modo da considerare solamente quella parte della sfera.
In questo modo il ragionamento è giusto?
Quindi io spezzo l'integrale triplo in 2 parti:
la prima parte è quella compresa all'interno del cono, dal vertice nell'origine fino all'intersezione con la sfera, in cui mi trovo una base circolare di raggio $ sqrt(8) $
successivamente mi rimane una calotta sferica che ha come base la circonferenza di prima e come raggio il raggio della sfera. Quindi anzichè partire da 0 in quando considererei la semisfera, parto da $ sqrt(8) $ e arrivo a 4 in modo da considerare solamente quella parte della sfera.
In questo modo il ragionamento è giusto?
è proprio il ragionamento che ho fatto : considerare dove la sfera sta sopra e dove sta sotto il cono
Buonasera vi riscrivo perchè ho provato a rifare bene l'esercizio ma il secondo integrale non mi viene...
Il primo l'ho risolto così come prima, considero il primo solido come:
$ Omega = {(x,y,z)in R^3 : 0 <= z <= sqrt(x^2 + y^2) x^2 + y^2 = 8} $ e come detto sopra, integrando ottengo $ 4pi $
Per il secondo integrale ho una calotta sferica che parte dal raggio $ sqrt(8) $ al raggio $ 4 $ , quindi considero la seguente relazione $ 8 <= x^2 + y^2 + z^2 <=16 $
Qui ora ho i problemi, perchè se integro considerando la parametrizzazione in coordinate sferiche e considerando come estremi:
$ { ( sqrt(8) <= R <= 4 ),( 0 <= vartheta <= 2pi ),( 0 <= phi <= pi ):} $
integrando, in particolare l'integrale su $ phi $ viene zero e quindi mi annulla tutto......
ho guardato il testo dell'esercizio e ho considerato la relazione $ z <= sqrt(x^2 + y^2) $ che dopo aver sostituito i valori di x y e z delle coordinate sferiche ottengo $ 0 <= phi <= pi /2 $ , integrando questa volta ottengo come risultato del secondo integrale $ 12 pi $ .....
in nessuno dei due casi ottengo il risultato dell'esercizio...dove sbaglio a definire il secondo integrale?
Il primo l'ho risolto così come prima, considero il primo solido come:
$ Omega = {(x,y,z)in R^3 : 0 <= z <= sqrt(x^2 + y^2) x^2 + y^2 = 8} $ e come detto sopra, integrando ottengo $ 4pi $
Per il secondo integrale ho una calotta sferica che parte dal raggio $ sqrt(8) $ al raggio $ 4 $ , quindi considero la seguente relazione $ 8 <= x^2 + y^2 + z^2 <=16 $
Qui ora ho i problemi, perchè se integro considerando la parametrizzazione in coordinate sferiche e considerando come estremi:
$ { ( sqrt(8) <= R <= 4 ),( 0 <= vartheta <= 2pi ),( 0 <= phi <= pi ):} $
integrando, in particolare l'integrale su $ phi $ viene zero e quindi mi annulla tutto......
ho guardato il testo dell'esercizio e ho considerato la relazione $ z <= sqrt(x^2 + y^2) $ che dopo aver sostituito i valori di x y e z delle coordinate sferiche ottengo $ 0 <= phi <= pi /2 $ , integrando questa volta ottengo come risultato del secondo integrale $ 12 pi $ .....
in nessuno dei due casi ottengo il risultato dell'esercizio...dove sbaglio a definire il secondo integrale?
Mi sto rendendo conto che molto probabilmente è l'angolo $ phi $ della parametrizzazione che non può essere $ 0 <= phi <= pi/2 $ ma che avendo una calotta sferica e non una semisfera l'angolo è più piccolo di $ pi/2 $ però non riesco a capire come fare a determinarlo.....
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