Flusso (Teorema della divergenza in R2)

[Salivo44]

Sia D il rettangoloide relativo alla funzione $y=logx$ con $x [1,e]$ e sia $F : D-> R^2$ definito da

$F(x,y) = (e^y x ^2)i + (e^y / (sqrt(x^2-2x+1)))j$

Calcolare il flusso del campo F uscente da D attraverso la frontiera di D orientata nel verso usuale, utilizzando il teorema della divergenza

Io l'ho impostato così :

$F_1 dx = 2xe^y$
$F_2 dy = e^y / (sqrt(x^2-2x+1))$
$F_3 dz = 0$

Dunque l'integrale diventa : $intint_D e^y (2x +1/(x-1)^2)$ con $ D : { 1 <= x <= e | 0<= y <=1}$

$int_0^1 e^y dy int_1^e 2x +1/(x-1)^2 dx$ solo che il secondo integrale non converge... come si fa?

[Seneca1]

C'è qualcosa che non mi torna. Così impostato mi sembra che il flusso abbia componente nulla lungo la direzione normale alla superficie $D$ (che non è un rettangolo). In tal caso il flusso cercato risulterebbe nullo.

[Salivo44]

Il testo chiede esplicitamente di risolverlo con l'aiuto del teorema della divergenza e così credo che vada impostato (o almeno lo penso io). Tu come faresti?

[Seneca1]

Ti chiedo scusa, avevo interpretato male il testo.

\[ \int \int_{D} div(F) = \int_{1}^{e} \int_{0}^{log(x)} e^y \left ( 2x + \frac{1}{x - 1} \right ) \text{d}y \text{ d} x \]
\[ = \int_{1}^{e} \left ( 2x + \frac{1}{x - 1} \right ) \int_{0}^{log(x)} e^y \text{d}y \text{ d} x \]
\[ = \int_{1}^{e} \left ( 2x + \frac{1}{x - 1} \right ) ( x - 1) \text{ d} x \]

Quindi la singolarità scompare, se ho fatto correttamente il conto...

[Salivo44]

Mi sembra corretto, e ti ringrazio.

Una cosa però : dato che $1<= x <=e $ e $y=logx$, io avevo già impostato $0< y <=1$ e non è risultato corretto, come mai?

[Seneca1]

Di niente. Tu hai integrato sul rettangolo $[1,e] \times [0,1]$ e non su $D$.

[Salivo44]

Giusto! Grazie ancora