Flusso superficie cubica
Traccia dell'esercizio:
Sia assegnato il campo vettoriale $F=yzi-xzj+(x^2+y^2)k$ ; determinare il flusso di $F$ uscente dalla superficie del cubo $[1,2]x[1,2]x[1,2]$.
Ora, il mio ragionamento è che, essendo una superficie chiusa, posso applicare il teorema della divergenza, e, calcolandola, mi trovo che il risultato è $0$ , in quanto: $ Div F=0+0+0$.
Il risultato è proprio $0$, in effetti, ma vorrei essere sicura di aver ragionato in maniera corretta! Quindi, è giusto?
Grazie in anticipo!
Sia assegnato il campo vettoriale $F=yzi-xzj+(x^2+y^2)k$ ; determinare il flusso di $F$ uscente dalla superficie del cubo $[1,2]x[1,2]x[1,2]$.
Ora, il mio ragionamento è che, essendo una superficie chiusa, posso applicare il teorema della divergenza, e, calcolandola, mi trovo che il risultato è $0$ , in quanto: $ Div F=0+0+0$.
Il risultato è proprio $0$, in effetti, ma vorrei essere sicura di aver ragionato in maniera corretta! Quindi, è giusto?
Grazie in anticipo!
Risposte
Allora, bella "sfida".
Sicuramente non potrò più con questa condizione applicare il teorema della divergenza, in quanto, mi diventa una superficie aperta. Dunque dovrò considerare: $1<=x<=2, 1
Sicuramente non potrò più con questa condizione applicare il teorema della divergenza, in quanto, mi diventa una superficie aperta. Dunque dovrò considerare: $1<=x<=2, 1
Non voglio annoiarti con troppi calcoli, ma ti posto almeno il primo, per vedere se ho capito, perché ad essere sincera, ho paura di essere un po' confusa al momento 
Innanzitutto una domanda, posso quindi applicare entrambi i metodi, ma in questo caso se la divergenza è uguale a $0$, comunque torno alla definizione di flusso, o mi sto sbagliando?
Poi, tenendo presente la tua divisione in sei superfici, va bene se poi per ognuna, scelgo una parametrizzazione diversa, come mi è più semplice per ricavarmi le limitazioni? Ad esempio, per la prima $\Sigma_1$:
$r_1(u,v)=(1,u,v)$
quindi $r_(1u)(u,v)=(0,1,0)$ e $r_(1v)(u,v)=(0,0,1)$ con $1<=u<=2$ e $1<=v<=2$
$N(u,v)= (1,0,0)$
e dunque: $int duint (uv, -v, 1+u^2)(1,0,0)dv$
(con le dovute limitazioni, che ancora non capisco come inserire sugli integrali, scusami)
poi
$int du int uv dv=int (uv^2/2) du=int 2u-u/2 du=u^2-u^2/4=3/4 $
(sempre considerando gli estremi di integrazione, così non ha senso quello che ho scritto, lo so)
Se però poi volessi studiare la quarta, cambierei $r(u,v)$ in $r_4(u,v)=(u,1,v)$, per poi rifare il procedimento.
Spero di non essere nuovamente fuori strada..
Innanzitutto una domanda, posso quindi applicare entrambi i metodi, ma in questo caso se la divergenza è uguale a $0$, comunque torno alla definizione di flusso, o mi sto sbagliando?
Poi, tenendo presente la tua divisione in sei superfici, va bene se poi per ognuna, scelgo una parametrizzazione diversa, come mi è più semplice per ricavarmi le limitazioni? Ad esempio, per la prima $\Sigma_1$:
$r_1(u,v)=(1,u,v)$
quindi $r_(1u)(u,v)=(0,1,0)$ e $r_(1v)(u,v)=(0,0,1)$ con $1<=u<=2$ e $1<=v<=2$
$N(u,v)= (1,0,0)$
e dunque: $int duint (uv, -v, 1+u^2)(1,0,0)dv$
(con le dovute limitazioni, che ancora non capisco come inserire sugli integrali, scusami)
poi
$int du int uv dv=int (uv^2/2) du=int 2u-u/2 du=u^2-u^2/4=3/4 $
(sempre considerando gli estremi di integrazione, così non ha senso quello che ho scritto, lo so)
Se però poi volessi studiare la quarta, cambierei $r(u,v)$ in $r_4(u,v)=(u,1,v)$, per poi rifare il procedimento.
Spero di non essere nuovamente fuori strada..
Tutto chiaro, eccetto un'ultima cosa Eseguendo i calcoli, e scusandomi in anticipo se ciò che dirò sarà una baggianata, mi sono resa conto che $\Sigma_1$ - $Sigma_2$, così come $Sigma_3$ - $Sigma_4$ e $Sigma_5$ - $Sigma_6$ avrebbero la stessa normale, secondo quanto ho capito, mentre quello che potrebbe cambiare è solo il verso. Che in questo caso, per me è sempre entrante. E' esatto o mi sto confondendo?
Eseguendo i calcoli, e scusandomi in anticipo se ciò che dirò sarà una baggianata, mi sono resa conto che $\Sigma_1$ - $Sigma_2$, così come $Sigma_3$ - $Sigma_4$ e $Sigma_5$ - $Sigma_6$ avrebbero la stessa normale, secondo quanto ho capito, mentre quello che potrebbe cambiare è solo il verso. Che in questo caso, per me è sempre entrante. E' esatto o mi sto confondendo?
Sì, così è molto più chiaro. Non riesco proprio a prendere confidenza con i grafici nello spazio. 
Grazie!
Grazie!
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