Flusso $gradf$
Calcolare il flusso di $gradf$ attraverso la superficie cilindrica avente per generatrice la curva di equazione $x=1-y^2$, $yin[0,1]$ e le direttrici parallele all'asse $z$, orientata nel verso indotto dalla rappresentazione parametrica.
$f(x,y)=x^2+y+2xy$
$gradf=(2x+2y)veci+(1+2x)vecj$
Mi è venuto un dubbio su come parametrizzare la superficie. Ho pensato di parametrizzare in questo modo, ma non sono sicura che sia corretto
$S={(x=1-t^2),(y=t),(z=tau):}$ con $tin[0,1]$ e $tauin[0,2pi]$
E' corretto?
$f(x,y)=x^2+y+2xy$
$gradf=(2x+2y)veci+(1+2x)vecj$
Mi è venuto un dubbio su come parametrizzare la superficie. Ho pensato di parametrizzare in questo modo, ma non sono sicura che sia corretto
$S={(x=1-t^2),(y=t),(z=tau):}$ con $tin[0,1]$ e $tauin[0,2pi]$
E' corretto?
Risposte
Quali erano le limitazioni su $z$?
"speculor":
Quali erano le limitazioni su $z$?
non dà limitazioni su $z$...la traccia è quella che ho riportato qui...parla soltanto di direttrici parallele all'asse $z$ per questo mi sono venuti i dubbi!
Allora non ha senso che tu ponga $0<=z<=2\pi$. Strano che tu non abbia limitazioni.
"speculor":
Allora non ha senso che tu ponga $0<=z<=2\pi$. Strano che tu non abbia limitazioni.
e come devo considerarla la $z$, come $z=tau in RR^2$?
Comunque pare strano anche a me...
La parametrizzazione sarebbe corretta. Senza quella limitazione, dovresti avere un integrale improprio bidimensionale, $tin[0,1]$ e $\tauin]-oo,+oo[.
"speculor":
La parametrizzazione sarebbe corretta. Senza quella limitazione, dovresti avere un integrale improprio bidimensionale, $tin[0,1]$ e $\tauin]-oo,+oo[.
provo a risolverlo con $tau$ variabile in $RR^2$ e vedo cosa ne esce...poi ti posto qui quello che ottengo...in ogni caso grazie per averci almeno ragionato con me..
Perchè dici $tau$ variabile in $RR^2$?
hai ragione, è in $RR$...comunque ho risolto in questo modo, ma mi sa che non è affatto corretto...
Flusso: $int_(deltaA)vecv vec(n_e)dS$
$vecn_e=((veci,vecj,veck),(x'_t,y'_t,z'_t),(x'_tau,y'_tau,z'_tau)) =((-2t,1,0),(0,0,1))$ con $n_1=veci$, $n_2=2tvecj$,$n_3=0veck$
Quindi $int_(deltaA)vecv vec(n_e)dS=int_0^1{[2(1-t^2)+2t]+(2t)(1+2-2t^2)}dt=int_0^1(-6t^2+8t+2)dt=3$
Flusso: $int_(deltaA)vecv vec(n_e)dS$
$vecn_e=((veci,vecj,veck),(x'_t,y'_t,z'_t),(x'_tau,y'_tau,z'_tau)) =((-2t,1,0),(0,0,1))$ con $n_1=veci$, $n_2=2tvecj$,$n_3=0veck$
Quindi $int_(deltaA)vecv vec(n_e)dS=int_0^1{[2(1-t^2)+2t]+(2t)(1+2-2t^2)}dt=int_0^1(-6t^2+8t+2)dt=3$
Dovrebbe mancare il modulo della normale e l'integrale in $\tau$.
"speculor":
Dovrebbe mancare il modulo della normale e l'integrale in $\tau$.
e quindi come dovrei impostare l'integrale?
Devi aver sbagliato i conti nella parentesi:
$int_0^1dtint_-oo^(+oo)d\tau(-4t^3-2t^2+8t+2)sqrt(1+4t^2)$
$int_0^1dtint_-oo^(+oo)d\tau(-4t^3-2t^2+8t+2)sqrt(1+4t^2)$
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