Flusso entrante rotore

[Gost91]

Buona sera!

Nel tentare di risolvere il seguente problema mi sono ritrovato a svolgere conti che mi lasciano abbastanza perplesso, sicchè mi chiedevo se qualcuno può dare un occhiata tanto per vedere se salta fuori qualche errore.

Allora il problema è il seguente:

"Calcolare il flusso di $\RotV$ entrante da $\Sigma$, dove:

$V\equiv(x-2yz,2y+x^2z^2,z^2-x^2-y^2)$
$\Sigma={2x^2+2y^2=(z-1)^2, 0<=z<=2}$

Calcolo il flusso totale del rotore di V sommando la circuitazione sulla circonferenza alla quota 2 e la circuitazione sulla circonferenza alla quota 0.

Parametrizzo la circonferenza superiore, in modo tale che la normale punti all'interno di $\Sigma$:

${(x=sqrt(1/2)cost),(x=sqrt(1/2)sint),(z=2):}$ con $t\in[0,2pi]$

Quindi mi calcolo il vettore tangente:

$\phi_t=[(-sqrt(2)sint),(sqrt(1/2)cost),(0)]$

Imposto quindi l'integrale e risolvo:

$int_0^(2pi)(sqrt(1/2)cost-4sqrt(1/2)sint)(-sqrt(1/2)sint)+(2sqrt(1/2)sint+2cos^2t)(sqrt(1/2)cost)dt=$

$int_0^(2pi)-1/2sintcost+2sin^2t+sintcost+2sqrt(1/2)cos^3tdt=$

$int_0^(2pi)1/2sintcost+2sin^2t+2sqrt(1/2)cos^3tdt=$

$1/2int_0^(2pi)sintcostdt+2int_0^(2pi)sin^2tdt+2sqrt(1/2)int_0^(2pi)cos^3tdt=$

$1/2((sin^2t)/2|_0^(2pi))+2[(t^2/2-(sintcost)/2)|_0^(2pi)]+2sqrt(1/2)[((sintcos^2t)/3+2/3sint)|_0^(2pi)]=4pi^2$

Per la seconda la faccenda è un attimino più semplice.
Parametrizzo la seconda circonferenza e calcolo il vettore tangente:

${(x=sqrt(1/2)sint),(y=sqrt(1/2)cost),(z=0):}$ con $t\in[0,2pi]$

$\gamma_t=[(sqrt(1/2)cost),(-sqrt(1/2)sint),(0)]$

Imposto e risolvo l'integrale:

$int_0^(2pi)(sqrt(1/2)sint)(sqrt(1/2)cost)+(2sqrt(1/2)cost)(-sqrt(1/2)sint)dt=$

$int_0^(2pi)(sintcost)/2-sintcostdt=0$

Quindi concluderei che il flusso entrante del rotore risulta $4pi^2+0=4pi^2$.

[Gost91]

volevo rinnovare l'invito a dare un'occhiata a questo esercizio

[ciampax]

Tutto giusto tranne una cosa fondamentale: il teorema del rotore determina il flusso uscente. Per calcolare quello entrante devi mettere un segno meno. Tuttavia, bisogna tenere conto di un fatto: poiché $\partial\Sigma=C_0\cup C_2$ è l'unione delle due circonferenze alle due quote, accade dhe se quella di sopra la percorri in senso orario, quella di sotto verrà percorsa nell'altro senso, è in effetti la formula di integrazione diverrebbe $\int_{\Sigma}=\int_{C_2}-\int_{C_0}=4\pi^2-0=4\pi^2$. In definitiva il flusso entrante (che si ottiene dal precedente ragionamento cambiando un segno) vale $-4\pi^2$.

[Gost91]

Quindi con il teorema del rotore mi determino SEMPRE il flusso uscente?
Ho letto sul libro di testo che la direzione della normale induce i versi di percorrenza dei bordi.
Scegliere la normale entrante o uscente dalla superficie è quindi irrilevante?

[ciampax]

Certo che e rilevante. ma tu hai parametrizzato la curva percorrendola in senso positivo, che è legato alla normale uscente. Per definizione, percorri la curva in senso positivo se vedi la normale uscente sempre alla tua sinistra. (Ovviamente sto parlando della normale sulle due basi delimitate dalle curve).

[Gost91]

Ripeto che sono una vera e propria fava.
Ero convinto che le parametrizzazioni implicassero correttamente che la normale fosse entrante (infatti lo ho anche scritto che le stavo scegliendo in modo da calcolare il flusso entrante).
Grazie ciampax per la correzione