Flusso e orientazione bordo
Ciao a tutti, mi aiutate a capire una cosa? 
Se un cono, con la punta nell' origine e una circonferenza di raggio 1 ad altezza $z=1$, ha un flusso uscente; per calcolare l' integrale curvilineo sul suo bordo (quindi sulla circonferenza ad altezza 1), la sua circuitazione va considerata in senso orario o antiorario?
E se lo stesso cono, invece di avere la punta nell' origine fosse capovolto (quindi con la circonferenza ad altezza $z=0$ e la punta ad altezza $z=1$), sempre con flusso uscente, la circuitazione andrebbe considerata nello stesso verso?
Grazie
Se un cono, con la punta nell' origine e una circonferenza di raggio 1 ad altezza $z=1$, ha un flusso uscente; per calcolare l' integrale curvilineo sul suo bordo (quindi sulla circonferenza ad altezza 1), la sua circuitazione va considerata in senso orario o antiorario?
E se lo stesso cono, invece di avere la punta nell' origine fosse capovolto (quindi con la circonferenza ad altezza $z=0$ e la punta ad altezza $z=1$), sempre con flusso uscente, la circuitazione andrebbe considerata nello stesso verso?
Grazie
Risposte
Nel primo caso, ossia con il cono capovolto, se vuoi il flusso uscente dalla superficie devi considerare la normale esterna alla superficie con la terza componente positiva (cioè rivolta verso l'alto per intenderci). La circuitazione andrà considerata in senso antiorario.
Nel caso in cui la circonferenza sia a quota zero e tu voglia calcolare il flusso uscente, allora la normale esterna sarà capovolta, e avrà la terza componente negativa. La circonferenza in questo caso è percorsa in senso orario.
Nel caso in cui la circonferenza sia a quota zero e tu voglia calcolare il flusso uscente, allora la normale esterna sarà capovolta, e avrà la terza componente negativa. La circonferenza in questo caso è percorsa in senso orario.
Grazie per la risposta
Ma che ragionamento bisogna fare per arrivare a queste considerazioni?
Bisogna immaginare di percorrere il bordo con la superficie sempre alla sinistra?
Poi un altra domanda: Se ho un flusso uscente da un' altra superficie (esempio una semisfera $x^2+y^2+z^2=1 , z>=0$ o un qualsiasi cilindro) la normale esterna alla superficie in che direzione punta? Non mi é molto chiaro il significato "uscente".
Ad esempio, nella semisfera la normale esterna va considerata con la terza componente negativa o o con la terza componente positiva? E perché?
E nel caso del cilindro?
Ho troppa confusione su questa cosa, che sembrerebbe banale, e vorrei capirla bene per l'esame di domani
Ma che ragionamento bisogna fare per arrivare a queste considerazioni?
Bisogna immaginare di percorrere il bordo con la superficie sempre alla sinistra?
Poi un altra domanda: Se ho un flusso uscente da un' altra superficie (esempio una semisfera $x^2+y^2+z^2=1 , z>=0$ o un qualsiasi cilindro) la normale esterna alla superficie in che direzione punta? Non mi é molto chiaro il significato "uscente".
Ad esempio, nella semisfera la normale esterna va considerata con la terza componente negativa o o con la terza componente positiva? E perché?
E nel caso del cilindro?
Ho troppa confusione su questa cosa, che sembrerebbe banale, e vorrei capirla bene per l'esame di domani
di solito l'esercizio ti dice come deve essere messa la normale. Il punto è questo: la scelta di una normale induce un 'orientazione sulla tua superficie. E l'orientazione positiva è data dal fatto che se percorri il bordo la superficie viene vista alla sinistra.
Se hai la semisfera che proponi: tramite una parametrizzazione in coordinate sferiche puoi calcolarti la normale. Ora però, devi stabilire quale delle due sia uscente (cioè $\hat{n}$ o $-\hat{n}$). Per farlo, vedi che per un certo angolo hai che la terza componente è positiva e quindi la tua normale è uscente dalla superficie. Vedi anche a questo link: viewtopic.php?f=36&t=134500&hilit
Nel caso di un cilindro, il flusso totale uscente conviene calcolarlo col teorema della divergenza
Se hai la semisfera che proponi: tramite una parametrizzazione in coordinate sferiche puoi calcolarti la normale. Ora però, devi stabilire quale delle due sia uscente (cioè $\hat{n}$ o $-\hat{n}$). Per farlo, vedi che per un certo angolo hai che la terza componente è positiva e quindi la tua normale è uscente dalla superficie. Vedi anche a questo link: viewtopic.php?f=36&t=134500&hilit
Nel caso di un cilindro, il flusso totale uscente conviene calcolarlo col teorema della divergenza
Ok inizio a capire, grazie
Peró non ho capito se é sempre la terza componente della normale a dirmi se questa é uscente.
Mi spiego meglio, se invece della semisfera positiva considerassi la semisfera negativa, la normale uscente sarebbe sempre quella che per un certo angolo ha la terza componente positiva?
Quindi una volta calcolata la normale, verifico solo se per un certo angolo la componente "altezza" é positiva? E in caso affermativo sarebbe uscente?
Giusto o non ho capito nulla? 
"feddy":
Se hai la semisfera che proponi: tramite una parametrizzazione in coordinate sferiche puoi calcolarti la normale. Ora però, devi stabilire quale delle due sia uscente (cioè $\hat{n}$ o $-\hat{n}$). Per farlo, vedi che per un certo angolo hai che la terza componente è positiva e quindi la tua normale è uscente dalla superficie.
Peró non ho capito se é sempre la terza componente della normale a dirmi se questa é uscente.
Mi spiego meglio, se invece della semisfera positiva considerassi la semisfera negativa, la normale uscente sarebbe sempre quella che per un certo angolo ha la terza componente positiva?
Quindi una volta calcolata la normale, verifico solo se per un certo angolo la componente "altezza" é positiva? E in caso affermativo sarebbe uscente?
Giusto o non ho capito nulla?
Sostanzialmente la terza componente ti dice se la freccette punta verso l'alto o il basso.
Nel caso in cui la semisfera sia quella "negativa" (cioè intendi il guscio capovolto) la normale uscente è quella che ha la terza componente negativa.
Prova a farti un disegnino della situazione.
Oppure prova a fare questo:
Per una superficie come la sfera o il toro, il versore normale $n$ risulta puntare sempre verso l'esterno o sempre verso l'interno della superficie, a seconda di quale parametro chiamiamo $u$ e quale chiamiamo $v$ nella parametrizzazione. Quindi siamo noi che scegliamo un'orientazione sulla superficie. SI parla in questo caso di normale "intera" o "esterna" (o anche "entrante" o "uscente"), rispettivamente.
Nel caso in cui la semisfera sia quella "negativa" (cioè intendi il guscio capovolto) la normale uscente è quella che ha la terza componente negativa.
Prova a farti un disegnino della situazione.
Oppure prova a fare questo:
Dato il campo vettoriale $F(x,y)=x i + y k$ (i e k sono i versori dell'asse x e z rispettivamente), calcolare il flusso uscente dalla superficie sferica di raggio $R$ e centro l'origine in questi due/tre modi:
(i) Scrivendo la superficie sferica come unione di due semisfere $S^+$ e $S^-$ in forma cartesiana [un po' rognoso]
(ii) Parametrizzando in coordinate sferiche la superficie.
(iii) Col teorema della divergenza. [questo è un passaggio].
Risultato: $4/3 pi R^3$
Per una superficie come la sfera o il toro, il versore normale $n$ risulta puntare sempre verso l'esterno o sempre verso l'interno della superficie, a seconda di quale parametro chiamiamo $u$ e quale chiamiamo $v$ nella parametrizzazione. Quindi siamo noi che scegliamo un'orientazione sulla superficie. SI parla in questo caso di normale "intera" o "esterna" (o anche "entrante" o "uscente"), rispettivamente.
Grazie feddy penso di aver capito 
Di nulla 
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