Flusso di un vettore attraverso una superficie
Salve,
sto studiando i flussi in analisi 2 e cerco un aiuto per capire come si svolgono gli esercizi, proprio il ragionamento che bisogna fare per impostare un esercizio, dato che sul libro che sto usando per quanto riguarda la pratica non c'è quasi nulla...
Gli esercizi che dovrei imparare a risolvere sono del tipo:
1) Calcolare il flusso di $ v(x,y) = 2/((x - y)^2) ( -y i + x j )$
attraverso la superficie S di eq. $z= (x - y)3 $, orientata nel verso indotto dalla r.p.
2) Sia $f(x,y) = x^2 + y^2 - xy$ . Calcolare il flusso di $ grad $ $f$ attraverso la superficie S ottenuta dalla rotazione di un angolo retto attorno all’asse z della curva di eq. $z = x^2 - 1 $, $x in [ 0,1]$ orientata nel verso indotto dalla r.p.
3) Calcolare il flusso del vettore $v(x,y,z) = 2/(z^2) [ x i + y j - (x^2 + y^2)/(z) k ]$ attraverso la superficie S di eq. $z = xy $ , $x,y in B= {x,y in R^2 : 1/x <= y <= x , 1<=x<= 2}$,orientata nel verso indotto dalla r.p.
Non sto chiedendo che me li risolviate ma che mi aiutate a capire come risolverli e quali formule applicare. Ad esempio quali sono i casi in cui bisogna usare il Teorema della Divergenza oppure il Teorema di Stokes e quali in cui bisogna calcolare il flusso in un altro modo. Grazie.
sto studiando i flussi in analisi 2 e cerco un aiuto per capire come si svolgono gli esercizi, proprio il ragionamento che bisogna fare per impostare un esercizio, dato che sul libro che sto usando per quanto riguarda la pratica non c'è quasi nulla...
Gli esercizi che dovrei imparare a risolvere sono del tipo:
1) Calcolare il flusso di $ v(x,y) = 2/((x - y)^2) ( -y i + x j )$
attraverso la superficie S di eq. $z= (x - y)3 $, orientata nel verso indotto dalla r.p.
2) Sia $f(x,y) = x^2 + y^2 - xy$ . Calcolare il flusso di $ grad $ $f$ attraverso la superficie S ottenuta dalla rotazione di un angolo retto attorno all’asse z della curva di eq. $z = x^2 - 1 $, $x in [ 0,1]$ orientata nel verso indotto dalla r.p.
3) Calcolare il flusso del vettore $v(x,y,z) = 2/(z^2) [ x i + y j - (x^2 + y^2)/(z) k ]$ attraverso la superficie S di eq. $z = xy $ , $x,y in B= {x,y in R^2 : 1/x <= y <= x , 1<=x<= 2}$,orientata nel verso indotto dalla r.p.
Non sto chiedendo che me li risolviate ma che mi aiutate a capire come risolverli e quali formule applicare. Ad esempio quali sono i casi in cui bisogna usare il Teorema della Divergenza oppure il Teorema di Stokes e quali in cui bisogna calcolare il flusso in un altro modo. Grazie.
Risposte
Per l'es. 1
devi calcolare la normale che viene $(3(x-y)^2,-3(x-y)^2,-1)$
fare il prodotto scalare col campo $((-2y)/((x-y)^2),(2x)/((x-y)^2),0)$
che viene $-6y-6x$
e quindi integrare su tutto il piano xy
devi calcolare la normale che viene $(3(x-y)^2,-3(x-y)^2,-1)$
fare il prodotto scalare col campo $((-2y)/((x-y)^2),(2x)/((x-y)^2),0)$
che viene $-6y-6x$
e quindi integrare su tutto il piano xy
"Quinzio":
Per l'es. 1
devi calcolare la normale che viene $(3(x-y)^2,-3(x-y)^2,-1)$
fare il prodotto scalare col campo $((-2y)/((x-y)^2),(2x)/((x-y)^2),0)$
che viene $-6y-6x$
e quindi integrare su tutto il piano xy
Ti ringrazio, ma io più che i risultati vorrei capire come risolvi l'esercizio, ovvero la procedura che bisogna effettuare.
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