Flusso di un rotore
Salve!
Sto calcolando il flusso del rotore del campo vettoriale $F(x,y,z) = (xz,z^2+y^2,zy)$ attraverso la superficie $S = {(x,y,z)inRR^3 : x^2+y^2+z^2=2, x>=0, y>=0}$ vale a dire uno spicchio di superficie sferica.
Ho provato a eseguire il calcolo direttamente facendo il flusso ed usando il teorema di stokes, ma ottengo due risultati diversi, il che mi fa sorgere il dubbio che forse i procedimenti che utilizzo hanno qualche falla..
Dunque, utilizzando il primo metodo ho:
$nabla xx F = (-z,x,0)$
Parametrizzo la supericie mediante $\psi(x,y) = (x,y,sqrt(2-x^2-y^2))$ per le $z$ positive (analogamente per la porzione di spicchio con $z<0$ solo con il segno della terza componente cambiato).
Ottengo il versore normale alla superficie (sempre per lo spicchio con $z>0$) $N(x,y) = (\psi_x(x,y) xx \psi_y(x,y))/||\psi_x(x,y) xx \psi_y(x,y)|| = 1/sqrt(2)(x,y,sqrt(2-x^2-y^2))$.
Faccio il prodotto scalare $(N(x,y) | (nablaxxF)(x,y,z(x,y))) = 1/sqrt(2) (-xsqrt(2-x^2-y^2) + xy)$ e integro quest'espressione: $1/sqrt(2) int_(x=0)^(x=sqrt(2)) ( int_(y=0)^(y=sqrt(2-x^2)) (-xsqrt(2-x^2-y^2)+xy) dy ) dx = sqrt(2)/4 (1-\pi/2)$ che moltiplicata per due per tenere conto della porzione inferiore (z<0) dello spicchio dà il risultato.
Il secondo metodo che ho provato è stato calcolare la circuitazione del campo vettoriale attraverso la frontiera dello spicchio, e forse qui ho qualche incertezza di più. Ho considerato la frontiera suddetta come formata dalle due curve parametrizzate da $s_1(t) = (sqrt(2) cos(t),0,-sqrt(2) sin(t)), tin[-\pi/2,\pi/2]$ e $s_2(t) = (0,sqrt(2)sin(t),sqrt(2) cos(t)), tin[-\pi/2,\pi/2]$. Ora per ognuna della due curve ho calcolato e quindi normalizzato la derivata ottenendo il versore normale che ho scalarmente moltiplicato per $F(s_(1x)(t),s_(1y)(t),s_(1z)(t))$, integrando il risultato sul parametro. Questo procedimento mi restituisce un risultato diverso dall'altro, dato che non vi compare affatto il $\pi$.
Al di là dei calcoli che eventualmente ricontrollo ab infinitum se necessario, volevo sapere se i procedimenti che ho seguito sono corretti!
Ps: Ho utilizzato qualche software per controllare i risultati di calcoli come rotore e integrali e prodotti vettoriali, ma non so come fargli fare direttamente il calcolo di un flusso attraverso una superficie (utilizzando wolfram o maple)... sono ben accetti anche suggerimenti in merito
Grazie mille
Sto calcolando il flusso del rotore del campo vettoriale $F(x,y,z) = (xz,z^2+y^2,zy)$ attraverso la superficie $S = {(x,y,z)inRR^3 : x^2+y^2+z^2=2, x>=0, y>=0}$ vale a dire uno spicchio di superficie sferica.
Ho provato a eseguire il calcolo direttamente facendo il flusso ed usando il teorema di stokes, ma ottengo due risultati diversi, il che mi fa sorgere il dubbio che forse i procedimenti che utilizzo hanno qualche falla..
Dunque, utilizzando il primo metodo ho:
$nabla xx F = (-z,x,0)$
Parametrizzo la supericie mediante $\psi(x,y) = (x,y,sqrt(2-x^2-y^2))$ per le $z$ positive (analogamente per la porzione di spicchio con $z<0$ solo con il segno della terza componente cambiato).
Ottengo il versore normale alla superficie (sempre per lo spicchio con $z>0$) $N(x,y) = (\psi_x(x,y) xx \psi_y(x,y))/||\psi_x(x,y) xx \psi_y(x,y)|| = 1/sqrt(2)(x,y,sqrt(2-x^2-y^2))$.
Faccio il prodotto scalare $(N(x,y) | (nablaxxF)(x,y,z(x,y))) = 1/sqrt(2) (-xsqrt(2-x^2-y^2) + xy)$ e integro quest'espressione: $1/sqrt(2) int_(x=0)^(x=sqrt(2)) ( int_(y=0)^(y=sqrt(2-x^2)) (-xsqrt(2-x^2-y^2)+xy) dy ) dx = sqrt(2)/4 (1-\pi/2)$ che moltiplicata per due per tenere conto della porzione inferiore (z<0) dello spicchio dà il risultato.
Il secondo metodo che ho provato è stato calcolare la circuitazione del campo vettoriale attraverso la frontiera dello spicchio, e forse qui ho qualche incertezza di più. Ho considerato la frontiera suddetta come formata dalle due curve parametrizzate da $s_1(t) = (sqrt(2) cos(t),0,-sqrt(2) sin(t)), tin[-\pi/2,\pi/2]$ e $s_2(t) = (0,sqrt(2)sin(t),sqrt(2) cos(t)), tin[-\pi/2,\pi/2]$. Ora per ognuna della due curve ho calcolato e quindi normalizzato la derivata ottenendo il versore normale che ho scalarmente moltiplicato per $F(s_(1x)(t),s_(1y)(t),s_(1z)(t))$, integrando il risultato sul parametro. Questo procedimento mi restituisce un risultato diverso dall'altro, dato che non vi compare affatto il $\pi$.
Al di là dei calcoli che eventualmente ricontrollo ab infinitum se necessario, volevo sapere se i procedimenti che ho seguito sono corretti!
Ps: Ho utilizzato qualche software per controllare i risultati di calcoli come rotore e integrali e prodotti vettoriali, ma non so come fargli fare direttamente il calcolo di un flusso attraverso una superficie (utilizzando wolfram o maple)... sono ben accetti anche suggerimenti in merito
Grazie mille
Risposte
Hai sbagliato a parametrizzare $s_{2}(t)$ se non mi sbaglio
E' vero accidenti -.- .... ok ho corretto, la parametrizzazione avrebbe dovuto essere invece $s_2(t) = (0,sqrt(2)cos(t),sqrt(2)sin(t))$. Ad ogni modo il risultato mi viene sempre $-4/3$ come prima, decisamente diverso dall'altro!
EDIT:
Ricontrollando ancora una volta i conti ho trovato un altro errorino, che però cambia solo il segno. Postando i calcoli (sempre per la seconda parte) ho:
$F_1'(t) -= F@s_1(t) = (-2sin(t)cos(t),2sin^2(t),0)$
$\tau_1(t) = (-sin(t),0,-cos(t))$
$int_(-pi/2)^(pi/2) ( F_1' | \tau_1 )(t) = int_(-pi/2)^(pi/2) [ 2sin^2(t)cos(t) ] = 4/3$ (confermato da software)
$F_2'(t) -= F@s_2(t) = (0,2,2cos(t)sin(t))$
$\tau_2(t) = (0,-sin(t),cos(t))$
$int_(-pi/2)^(pi/2) ( F_2' | \tau_2 )(t) = int_(-pi/2)^(pi/2) [ -2sin(t) + 2cos^2(t)sin(t) ] = 0$ (confermato da software, e comunque immediato per la disparità delle funzioni)
Dove sbaglio??
EDIT:
Ricontrollando ancora una volta i conti ho trovato un altro errorino, che però cambia solo il segno. Postando i calcoli (sempre per la seconda parte) ho:
$F_1'(t) -= F@s_1(t) = (-2sin(t)cos(t),2sin^2(t),0)$
$\tau_1(t) = (-sin(t),0,-cos(t))$
$int_(-pi/2)^(pi/2) ( F_1' | \tau_1 )(t) = int_(-pi/2)^(pi/2) [ 2sin^2(t)cos(t) ] = 4/3$ (confermato da software)
$F_2'(t) -= F@s_2(t) = (0,2,2cos(t)sin(t))$
$\tau_2(t) = (0,-sin(t),cos(t))$
$int_(-pi/2)^(pi/2) ( F_2' | \tau_2 )(t) = int_(-pi/2)^(pi/2) [ -2sin(t) + 2cos^2(t)sin(t) ] = 0$ (confermato da software, e comunque immediato per la disparità delle funzioni)
Dove sbaglio??
up
Il procedimento di base è corretto??
Non ho controllato il tuo procedimento, anche perchè ho preferito utilizzare da subito le coordinate sferiche. Ti informo che, se la normale è orientata verso l'esterno, il risultato dovrebbe essere $[4/3sqrt2]$ in entrambi i modi.
ok, grazie mille, sono un idiota. Non so bene per quale arcano motivo ho normalizzato (e con convinzione pure!) le normali a superficie e curva. Ho rifatto tutti i conti sia in coordinate sferiche/polari che cartesiane e torna tutto. Grazie ancora
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