Flusso di un rotore

[zwan9]

Come si calcola il flusso di un rotore? So che dovrei utilizzare la formula di Stokes ma non l'ho capita...
Grazie anticipatamente!
Zwan

[goblyn]

Se G è una superficie regolare e F è la frontiera di G allora il flusso del rotore di un campo vettoriale H è = alla circuitazione di H lungo F. Cioè da un integrale in due variabili ci si riduce ad uno in una variabile sola (il parametro della curva che costituisce la frontiera).

INT[G] rot(H)*n dS = INT[F] H*dl

dove * è il prodotto scalare, n la normale in ogni punto alla superficie G, dS l'elemento infinitesimo di superficie G e dl l'elemento infinitesimo di lunghezza sulla curva F.

[zwan9]

Grazie goblyn!!
Ancora un quesito se possibile...se dovessi mettere in pratica quanto sopra e dovessi cacolare il flusso del rotore del campo vettoriale F(x, y, z) =(z exp 2 - y exp 2, x exp 2 - z exp 2, y exp 2 - x exp 2)
attraverso la superficie C = {(x, y, z) appart a R exp 3 | z = 1 - (x exp 2 + y exp 2) exp 1/2, z >= 0 } come dovrei procedere?
grazie mille!
zwan

[goblyn]

la frontiera di C è x^2+y^2=1 (C è infatti un cono con vertice in (0,0,1) e base sul piano xy).

Le equazioni parametriche della frontiera sono:

x=cos(t)
y=sin(t)
z=0

con t compreso tra 0 e 2pi

Lo spostamento infinitesimo dl sulla frontiera è quindi:

dx=-sin(t)dt
dy=cos(t)dt
dz=0

Il prodotto scalare F*dl vale allora:

(z^2-y^2)dx + (x^2-z^2)dy + (y^2-x^2)dz=
=2*(sin(t))^3 dt

ora basta calcolarne l'integrale (lo fai per parti...) e calcolaro tra 0 e 2pi.