Flusso di un campo vettoriale teorema divergenza
Buongiorno a tutti, non riesco a impostare la risoluzione di questo esercizio classico del calcolo del flusso di un campo vettoriale usando il teorema della divergenza.
il testo dice: Data $ Sigma ={(x,y,z)in mathbb(R)^3:z>=0, x^2+y^2+z^2=3 } $ e il campo vettoriale $ F(x,y,z)=(z^2x,x^2y+y^3/3,x^2+y^2) $ calcolare $ |int int_(Sigma )^()F*n dS | =2pi(3^(5/2)/5+9/4) $ di cui fornisce già la soluzione
per usare il teorema della divergenza mi serve prima di tutto la frontiera di sigma e parametrizzarla in coordinate sferiche dunque devo risolvere $ int int int_(V)^() rho ^2 rho ^2 sin(vartheta ) drho dvartheta dphi , V=[0,2pi ]xx [0,pi]xx [0,sqrt(3) ] $ ma non mi esce lo stesso risultato...
non capisco dove sbaglio
grazie in anticipo!!
il testo dice: Data $ Sigma ={(x,y,z)in mathbb(R)^3:z>=0, x^2+y^2+z^2=3 } $ e il campo vettoriale $ F(x,y,z)=(z^2x,x^2y+y^3/3,x^2+y^2) $ calcolare $ |int int_(Sigma )^()F*n dS | =2pi(3^(5/2)/5+9/4) $ di cui fornisce già la soluzione
per usare il teorema della divergenza mi serve prima di tutto la frontiera di sigma e parametrizzarla in coordinate sferiche dunque devo risolvere $ int int int_(V)^() rho ^2 rho ^2 sin(vartheta ) drho dvartheta dphi , V=[0,2pi ]xx [0,pi]xx [0,sqrt(3) ] $ ma non mi esce lo stesso risultato...
non capisco dove sbaglio
grazie in anticipo!!
Risposte
Non mi pare che tu abbia chiaro cos'è il teorema della divergenza. Il punto è proprio che ti permette di NON fare nulla sulla frontiera di \(\Sigma\). Più in generale, tutto ciò che hai scritto nel paragrafo "per usare il teorema della divergenza..." è senza senso.
Ciao Sacio,
Mi sa che ha ragione dissonance...
Il teorema della divergenza asserisce che
$\int \int_{del \Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\text{d}\Sigma = \int\int\int_{\Sigma} \text{div}\mathbf{F}(x, y, z) \text{d}V $
ove nel caso in esame $ \mathbf{F} (x, y, z) = (F_1(x, y, z), F_2(x, y, z), F_3(x, y, z)) = (z^2x,x^2y+y^3/3,x^2+y^2) $ e $ \text{div}\mathbf{F}(x, y, z) = (del F_1)/(del x) + (del F_2)/(del y) + (del F_3)/(del z) $
Se l'esercizio richiede di essere risolto tramite tale teorema, ciò significa che devi risolvere l'integrale al secondo membro, quindi a cosa ti serve parametrizzare la frontiera di $\Sigma$ ?
Mi sa che ha ragione dissonance...
Il teorema della divergenza asserisce che
$\int \int_{del \Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\text{d}\Sigma = \int\int\int_{\Sigma} \text{div}\mathbf{F}(x, y, z) \text{d}V $
ove nel caso in esame $ \mathbf{F} (x, y, z) = (F_1(x, y, z), F_2(x, y, z), F_3(x, y, z)) = (z^2x,x^2y+y^3/3,x^2+y^2) $ e $ \text{div}\mathbf{F}(x, y, z) = (del F_1)/(del x) + (del F_2)/(del y) + (del F_3)/(del z) $
Se l'esercizio richiede di essere risolto tramite tale teorema, ciò significa che devi risolvere l'integrale al secondo membro, quindi a cosa ti serve parametrizzare la frontiera di $\Sigma$ ?
Nel post di pilloeffe $Sigma$ è -come giusto sia- un dominio di $RR^3$, mentre nel post di OP $Sigma$ è una superficie... Quindi c'è qualcosa che non torna.
@Sacio: guardandolo più a lungo ho capito cosa volevi dire. Il dominio è \(V\) e la frontiera è \(\Sigma\). Quando scrivi \(V=[0, 2\pi]\times [0, \pi]\times [0, \sqrt{3}]\) ti riferisci alle coordinate polari \(\phi, \theta, \rho\) in quest'ordine. Decifro, quindi, che \(z=\cos \theta\) per te. Ma allora se mi fai variare \(\theta\) da \(0\) a \(\pi\), la \(z\) assume pure valori negativi...
Non solo... Bisogna in qualche modo liberarsi del(l'eventuale) contributo al flusso che viene dal "tappo" inferiore.
sono spiacente ma ho le idee molto confuse a riguardo...
$ \int \int_{del \Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\text{d}\Sigma = \int\int\int_{\Sigma} \text{div}\mathbf{F}(x, y, z) \text{d}V $ non mi resta che usare le coordinate sferiche per $\Sigma$, calcolare la divergenza e risolvere??
grazie ancora!
$ \int \int_{del \Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\text{d}\Sigma = \int\int\int_{\Sigma} \text{div}\mathbf{F}(x, y, z) \text{d}V $ non mi resta che usare le coordinate sferiche per $\Sigma$, calcolare la divergenza e risolvere??
grazie ancora!
Comincerei col dire, in accordo con quanto giustamente osservato da gugo82, che secondo me è
$\Sigma = {(x,y,z) \in \mathbb(R)^3 : z \ge 0, x^2+y^2+z^2 \le 3} $
oppure è $V = {(x,y,z) \in \mathbb(R)^3 : z > 0, x^2+y^2+z^2 < 3} $ e a questo punto è $\Sigma = del V $
Comunque sia l'integrale da risolvere è il seguente:
$ \int \int \int_{\Sigma} (x^2 + y^2 + z^2) \text{d}x \text{d}y \text{d}z = \int_0^{sqrt3}\rho^4 \text{d}\rho \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^{\pi/2} sin\phi \text{d}\phi = 2\pi \cdot 3^{5/2}/5 $
Poi come ha scritto giustamente gugo82 c'è il contributo al flusso del "tappo" inferiore, che è il cerchio di raggio $sqrt3$ che si ottiene per $z = 0$, dato che si tratta della semisfera che si ottiene per $z \ge 0 $, cioè
$ 2\pi \int_0^{sqrt3} \rho^3 \text{d}\rho = 2\pi [\rho^4/4]_0^{sqrt3} = 2 \pi \cdot 9/4 $
$\Sigma = {(x,y,z) \in \mathbb(R)^3 : z \ge 0, x^2+y^2+z^2 \le 3} $
oppure è $V = {(x,y,z) \in \mathbb(R)^3 : z > 0, x^2+y^2+z^2 < 3} $ e a questo punto è $\Sigma = del V $
Comunque sia l'integrale da risolvere è il seguente:
$ \int \int \int_{\Sigma} (x^2 + y^2 + z^2) \text{d}x \text{d}y \text{d}z = \int_0^{sqrt3}\rho^4 \text{d}\rho \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^{\pi/2} sin\phi \text{d}\phi = 2\pi \cdot 3^{5/2}/5 $
Poi come ha scritto giustamente gugo82 c'è il contributo al flusso del "tappo" inferiore, che è il cerchio di raggio $sqrt3$ che si ottiene per $z = 0$, dato che si tratta della semisfera che si ottiene per $z \ge 0 $, cioè
$ 2\pi \int_0^{sqrt3} \rho^3 \text{d}\rho = 2\pi [\rho^4/4]_0^{sqrt3} = 2 \pi \cdot 9/4 $
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