Flusso di un campo vettoriale di una curva che ruota

[Genny_it]

Premetto che sto "muovendo i mie primi passi" su questi esercizi.
L'esercizio in questione mi chiede ciò:
calcolare il flusso del campo vettoriale $F(x,y,z)=(x,y,z)$ attraverso la superficie di rotazione ottenuta facendo ruotare la curva di equazione $z=y^2-1$ attorno all'asse $z$ con $y in [1,2]$ orientata in modo che la terza componente della norma sia positiva.

Bene io ho agito in questo modo:
Mi sono scritto il campo vettoriale
$v(x,y,z)= x(i), yj, zk$
Fatto ciò ho provato a parametrizzare la curva, e già qui sono nati i mie primi e non pochi problemi, allora
$S={ ( x=0 ),( y=v ),( z=v^2-1 ):}$ con $v in [1,2]$
ma mi chiedo è giusto porre $x=0$?
Poi proseguo con lo studio della normale:
$tilde(n_x)= | ( y_u , y_v ),( z_u , z_v ) | = | ( 0 , 1 ),( 0 , 2v ) | = 0$

$tilde(n_y)= | ( z_u , z_v ),( x_u , x_v ) | = | ( 0 , 2v ),( 0 , 0 ) | = 0$

$tilde(n_z)= | ( x_u , x_v ),( y_u , y_v ) | = | ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) | = 0$

ma credo di aver già sbagliato qualcosa, in quanto troppo banale avere le varie norme tutte nulle!
quindi ho pensato di cambiare modo di parametrizzare, e d ho fatto questo:
$S={ ( x=u ),( y=v ),( z=v^2-1 ):}$ con $v in [1,2]$

$tilde(n_x)= | ( y_u , y_v ),( z_u , z_v ) | = | ( 0 , 1 ),( 0 , 2v ) | = 0$

$tilde(n_y)= | ( z_u , z_v ),( x_u , x_v ) | = | ( 0 , 2v ),( 1 , 0 ) | = -2v$

$tilde(n_z)= | ( x_u , x_v ),( y_u , y_v ) | = | ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) | = 1$

quindi $tilde(n)=(0,-2v,1)$.
abbiamo da quello che ho capito: $dsigma=dudv$
quindi:
$dsigma=dudv$. Poi:
$<(u,v,v^2-1),(0,-2v,1)>dudy$;
da cui il flusso diviene:
$int int_D (2v^2+v^2-1) du dv$ ma non riesco a capire gli estremi degli integrali quali sono, o meglio per $u$ sarebbero $[1,2]$ ammesso che abbia fatto tutto bene, ma poi boh

quindi ho provato a cambiare parametrizzazione ed ho fatto in questo modo:
$S={ ( x=ucostheta ),( y=usentheta ),( z=u^2sen^2(theta)cos(theta)-1 ):}$
con $u in [1,2]$ e $theta$ in $[0,2pi]$ ma quest'ultimo l'ho posto fra $[0,2pi]$ solo perchè ho pensato che per fare un giro attorno ad un asse qualunque esso sia, dobbiamo muoverci fra $0$ e $2pi$.
poi ho calcolato le norme:

$tilde(n_x)= | ( y_u , y_theta ),( z_u , z_theta ) | = | ( sentheta , ucostheta ),( 2usenì2theta , 2u^2sen^2thetacostheta ) | = 2u^2sen^2thetacostheta-2u^2sen^2thetacostheta=0$

$tilde(n_y)= | ( z_u , z_theta ),( x_u , x_theta ) | = | ( 2usen^2theta , 2u^2senthetacostheta ),( sentheta , -ucostheta ) | = -4u^2sen^2thetacostheta$

$tilde(n_z)= | ( x_u , x_theta ),( y_u , y_theta ) | = | ( sentheta , -ucostheta ),( sentheta , ucostheta ) | = 8senthetacostheta$

Quindi $tilde(n)=(0,-4u^2sen^2thetacostheta,8senthetacostheta)$
quindi:
$int_s dsigma = int int_d usentheta(-4u^2sen^2thetacostheta)+(u^2sen^2theta -1)(8senthetacostheta) dud(theta)$. quindi:
$int_(1)^(2)duint_(0)^(2pi) usentheta(-4u^2sen^2thetacostheta)+(u^2sen^2theta -1)(8senthetacostheta) d(theta)$


Ho le idee un po' molto confuse, ho visto qualche esercizio svolto, ma quelli dove sono presenti assi di rotazione non li ho proprio capiti, e anche le parametrizzazioni poco mi sono chiare, infatti non so se le ho fatte bene, e quale di quelle vada bene (ammesso che ce ne sia una). Quello che volevo chiedere è:l'esercizio si svolge in uno dei modi che ho scritto, altrimenti potete farmi vedere come procedere?

[Genny_it]

Grazie mille, ho le idee abbastanza chiare per questo esercizio, ma quando parametrizzi la curva non bisogna aggiungere un jacobiano all'integrale poi? cioè tipo quando passiamo a coordinate polari, abbiamo che $x=rhocostheta, y=rhosentheta$ e lo jacobiano $J=rho$ con $rho$ e $theta$ appartenenti ad un certo intervallo
e il metodo di parametrizzazione di una curva che ruota, è sempre questo?

(l'ho citato dall'altro topic)

"TeM":attorno all'asse \( z \) ha equazioni parametriche \[ \Sigma : \begin{cases} x = \sqrt{x(u)^2 + y(u)^2}\,\cos v \\ y = \sqrt{x(u)^2 + y(u)^2}\,\sin v \\ z = z(u) \end{cases} \; \; \; \text{per} \; (u,\,v) \in I \times [0,\,\alpha] \; . \] Analogamente si ricavano le parametrizzazioni delle superfici ottenute ruotando \( \Gamma \) attorno agli assi \( x \) e \( y \).

e tipo, nel caso in cui una curva ruoti attorno all'asse x ad esempio, la parametrizzazione diventa:
$Sigma={ ( x=x(u) ),( y=sqrt(z(u)^2+y(u)^2)sinv ),( z=sqrt(z(u)^2+y(u)^2)cosv ):}$

scusami le troppe domande in un messaggio, ma questi sono i dubbi che mi restano

[Genny_it]

Ottimo grazie mille, adesso provo a fare altri esercizi, per capire se ho veramente capito
Caso mai ho difficoltà apro un nuovo topic, o posso postare qui di seguito?

[Genny_it]

"TeM":[quote="Genny_it"]Caso mai ho difficoltà apro un nuovo topic, o posso postare qui di seguito?

Dato che la discussione su esercizi di questo tipo generalmente implica lunghi interventi,
per questioni di ordine credo sia meglio dedicare un thread per ogni esercizio dubbio. [/quote]
ok va benissimo, grazie mille ancora