Flusso di un campo vettoriale: attraverso una sfera:

[ZeTaMaster]

$ div(F) in dxdydz $Salve Forum avrei tale esercizio:
Calcolare il flusso del campo vettoriale $F(x; y; z) = (x; y^3; z^3)$ uscente dalla sfera di equazione
$x^2 + y^2 + z^2 = 9$.
Innanzitutto so che il flusso del campo vettoriale è uguale a$ \int_S F.n dS = \int_V div(F)dxdydz $che nel nostro caso abbiamo:
$div(F)= 1+3y^2+3z^2$ ora devo calcolare l'integrale triplo della$ div(F) dxdydz$ ma mi trovo in difficoltà ... come faccio,avevo pensato alle coordinate sferiche, ma non riesco a semplificarmi nulla?

[dissonance]

Si in effetti c'è una piccola difficoltà: per sfruttare appieno quella somma di quadrati $y^2+z^2$ in coordinate sferiche, converrebbe che fosse un $x^2+y^2$. Quindi io suggerisco di applicare prima la trasformazione $x=z', y=x', z=y'$, che non cambia nulla nell'integrale perché ha Jacobiano unitario, e solo dopo passare a coordinate sferiche. In questo modo l'integrale triplo si riduce a un integrale doppio.

[ZeTaMaster]

Cosi facendo ottengo :$ 1+3x^2+3y^2 dx dy dz$ passando in coordinate sferiche ho:
$1+3(rsina cosb)^2+3(rsina sinb)^2 (r^2 sinb)$--> $ r^2sinb+3r^2sin^2 a sinb $-->$ r^2 sinb (1+3sin^2(a))$ che non so integrare in tre variabili.. non so determinare gli estremi di integrazione :S

[dissonance]

No, la \(b\) deve sparire. Vedi che hai una somma \(\sin^2 b+ \cos ^2b\)? E gli estremi di integrazione sono facili, sei su una sfera.

[ZeTaMaster]

Ho sin^3b perchè la quantità al quadrato deve moltiplicare poi lo jacobiano...

[dissonance]

Ma quello Jacobiano è sbagliato.

http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

Con le tue notazioni devi avere $dV=r^2 sin a dr da db$.