Flusso di un campo vettoriale attraverso una porzione di piano

[*Little*Bi*]

Traccia: "Calcola il flusso del campo vettoriale F(x,y,z) = (2x,2y,z) attraverso la porzione di piano S=[(x,y,z) : x+y+z=0 ; x^2+y^2<_1 ; y>_0 ] orientata in modo che la terza componente del vettore normale sia negativa.

Purtroppo non conosco il risultato , ma mi basterebbe capire come arrivarci ! Che teorema devo applicare per calcolare questo flusso? Grazie mille in anticipo !!

[Vanzan]

Hai un flusso e una superficie in $R^(3)$. Basta applicare la formula, non te la ricordi?

[*Little*Bi*]

Si si quella dell'integrale del prodotto scalare tra la forza e la normale, giusto? Però non ho proprio capito il meccanismo di questa formula, ossia devo fare una sorta di cambiamento di variabili per usarla?

[Vanzan]

Allora a te viene assegnata una superficie definita in maniera implicita da $x+y+z=0$ e dalle altre due condizioni. Per usare la definizione di flusso ti conviene parametrizzare la superficie definendo una $F:D sub R^2 -> R^3$ che a $(x,y) -> (x,y,-x-y)$ dove $D={x^2+y^2<=1 ^^ y>=0}$.
Adesso Calcoli il versore normale.
Utilizzi la formula.
Ti conviene usare un cambio di variabili per calcolare l'integrale doppio.(la simmetria del dominio è circolare, quali variabili convengono?)

Se hai altri dubbi chiedi

[*Little*Bi*]

Allora per il calcolo del versore normale ho usato la parametrizzazione in questo modo (u,v,-u-v) e ho ottenuto
Ne(1,-1,1)
Poi nell'integrale doppio mi trovo x-3y in dxdy che cambio con x=costeta e y=senteta con teta variabile tra 0 e pi greco e ro variabile tra 0 e 1.
Quindi uso il cambio di variabile in dro e dteta , giusto ?
Facendo così mi viene il flusso uguale a zero...possibile ?

[Vanzan]

Mmm il versore normale è $(1,1,1)$ quindi tu devi considerare il vettore $(-1,-1,-1)$.
Suppongo che ti sia dimenticato di cambiare segno nel calcolo del determinante;)

[*Little*Bi*]

Uhhh si è vero T.T ! Scusa allora poi mi trovo l'integrale doppio di -x-y e procedendo come ti ho scritto prima viene 1 alla fine xD ?

[Vanzan]

A me viene $-2/3$.
$int int -x -y dxdy$ = $int_0^1 int_0^pi p(-pcosvartheta - psenvartheta) dvarthetadp$ = $-2/3$

[*Little*Bi*]

Ah okey okey avevo sbagliato io con il ro, però mi viene +2/3 e non -2/3...possibile ?

[*Little*Bi*]

Okey si scusami mi sono trovata con te!! Grazie mille sei stato gentilissimoo *--* !!