Flusso di un campo vettoriale
Buonasera a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi con questo esercizio?
Calcolare il flusso del campo vettoriale:
$F=r^-3(x,y,z)$ dove $r=sqrt(x^2+y^2+z^2)$ uscente dall'ellissoide di centro l'origine e semiassi $1,2,5$.
Devo calcolare il flusso uscente dalla superficie di equazione:
$x^2+y^2/4+z^2/25=1$
Quindi ho provato a parametrizzare ponendo:
$ { ( x=senvarphicosvartheta ),( y=2senvarphisentheta ),( z=cosvarphi ):}$ con $ 0<=theta<2pi $ e $0<=varphi<=pi$.
A questo punto ho calcolato le componenti del vettore $vec(n)$:
$ L=| ( y_varphi , z_varphi ),( y_theta , z_theta ) | =| ( 2senthetacosvarphi , -5senvarphi ),(2senvarphisentheta ,0 ) | =-10sen^2varphisentheta $
$ M=| ( x_varphi , z_varphi ),( x_theta , z_theta ) | =| ( cosvarphicostheta , -5senvarphi ),(-senvarphisentheta ,0 ) | =5sen^2varphisentheta $
$ M=| ( x_varphi , y_varphi ),( x_theta , y_theta ) | =| ( cosvarphicostheta , 2senthetacosvarphi ),(-senvarphisentheta ,2senvarphisentheta ) | =2cosvarphisenvarphisentheta(costheta+sentheta) $
Però se vado a sostituire esce qualcosa di davvero troppo lungo, tenendo conto che $sqrt(x^2+y^2+z^2)=sqrt(21cos^2varphi+3sentheta+1)$.
Anche con il teorema della divergenza il problema non si risolve. L'esercizio è troppo "calcoloso" o sono io?
Calcolare il flusso del campo vettoriale:
$F=r^-3(x,y,z)$ dove $r=sqrt(x^2+y^2+z^2)$ uscente dall'ellissoide di centro l'origine e semiassi $1,2,5$.
Devo calcolare il flusso uscente dalla superficie di equazione:
$x^2+y^2/4+z^2/25=1$
Quindi ho provato a parametrizzare ponendo:
$ { ( x=senvarphicosvartheta ),( y=2senvarphisentheta ),( z=cosvarphi ):}$ con $ 0<=theta<2pi $ e $0<=varphi<=pi$.
A questo punto ho calcolato le componenti del vettore $vec(n)$:
$ L=| ( y_varphi , z_varphi ),( y_theta , z_theta ) | =| ( 2senthetacosvarphi , -5senvarphi ),(2senvarphisentheta ,0 ) | =-10sen^2varphisentheta $
$ M=| ( x_varphi , z_varphi ),( x_theta , z_theta ) | =| ( cosvarphicostheta , -5senvarphi ),(-senvarphisentheta ,0 ) | =5sen^2varphisentheta $
$ M=| ( x_varphi , y_varphi ),( x_theta , y_theta ) | =| ( cosvarphicostheta , 2senthetacosvarphi ),(-senvarphisentheta ,2senvarphisentheta ) | =2cosvarphisenvarphisentheta(costheta+sentheta) $
Però se vado a sostituire esce qualcosa di davvero troppo lungo, tenendo conto che $sqrt(x^2+y^2+z^2)=sqrt(21cos^2varphi+3sentheta+1)$.
Anche con il teorema della divergenza il problema non si risolve. L'esercizio è troppo "calcoloso" o sono io?
Risposte
"Keyzan":
L'esercizio è troppo "calcoloso" o sono io?
La seconda che hai detto
Se fai i conti (e se non ho sbagliato) alla fine dovrebbe venirti $ oint_(V)1/r^3 dV $
Poi parametrizzi
Si sono io Hai ragione avevo sbagliato il calcolo della divergenza. Comunque adesso dovrei parametrizzare. Dal momento che mi ritrovo al denominatore $(sqrt(x^2+y^2+z^2))^3$ , ho pensato di dover parametrizzare con coordinate sferiche.
Quindi ho:
$ { ( x= rho senvarphicostheta ),( y=rhosenvarphisentheta ),( z=rhocosvarphi ):} $ con $0<=theta<=2pi$ e $0<=varphi
Il risultato dell'integrale singolo è:
$ =-costheta/rho|_0^(2pi)=0 $
Quindi il flusso risulta nullo.
C'è qualche errore o questa volta sono stato bravo? ahah
Hai ragione avevo sbagliato il calcolo della divergenza. Comunque adesso dovrei parametrizzare. Dal momento che mi ritrovo al denominatore $(sqrt(x^2+y^2+z^2))^3$ , ho pensato di dover parametrizzare con coordinate sferiche.Quindi ho:
$ { ( x= rho senvarphicostheta ),( y=rhosenvarphisentheta ),( z=rhocosvarphi ):} $ con $0<=theta<=2pi$ e $0<=varphi
Il risultato dell'integrale singolo è:
$ =-costheta/rho|_0^(2pi)=0 $
Quindi il flusso risulta nullo.
C'è qualche errore o questa volta sono stato bravo? ahah
Giuro che non ho voglia di verificare.
Ma la funzione è simmetrica rispetto a tutto e pure il dominio, quindi non mi sorprenderebbe affatto.
Ma la funzione è simmetrica rispetto a tutto e pure il dominio, quindi non mi sorprenderebbe affatto.
Va bene mi fido, grazie mille!! 
"TeM":
In realtà con il teorema della divergenza non si sarebbe nemmeno dovuto calcolare alcun integrale, dato che la
divergenza del campo vettoriale in questione è nulla e si sta richiedendo il flusso attraverso una superficie chiusa.
Il rotore è nullo. Non la divergenza.
Non ho capito cosa intendi.
Hai ragione, ho rifatto i conti e mi ero perso un (3/2), quindi il numeratore di una derivata parziale mi era venuto del tipo $y^2+z^2-x^2$ invece di $y^2+z^2-2x^2$
Certo che avrebbe dovuto ricontrollarli lui
Certo che avrebbe dovuto ricontrollarli lui
"Keyzan":
Quindi il flusso risulta nullo.
Se così fosse, il teorema di Gauss dell'elettromagnetismo non varrebbe:
$[vecE=1/(4\pi\epsilon_0)vecr/r^3] rarr [\Phi(vecE)=1/epsilon_0]$
Insomma, quel campo è singolare nell'origine. Tuttavia, poiché la divergenza è nulla in tutti i punti dello spazio esclusa l'origine, il flusso attraverso l'ellissoide è uguale al flusso attraverso una sfera avente il centro nell'origine:
$[vecF=4\pi\epsilon_0vecE] rarr [\Phi(vecF)=4\pi\epsilon_0\Phi(vecE)] rarr [\Phi(vecF)=4\pi]$
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