Flusso di un campo vettoriale

[HaldoSax]

Buon giorno a tutti, ho il seguente problema:

Dato il campo vettoriale $F(x,y,z)=(x^2,yz,-z^2)$ e la regione $E={(x,y,z)\inR^3: x^2+y^2+z^2<=1, x^2+y^2+(z-1)^2<=1}$, calcolare il flusso di F uscente da E.

E è l'intersezione di due sfere una centrata in $(0,0,0)$ con raggio=1, la seconda una sfera centrata in $(0,0,1)$ con raggio=1.
Per calcolare il flusso ho utilizzato il teorema della divergenza, $\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=2x-z$.
Ho utilizzato le coordinate sferiche
$$
\bigg \{
\begin{array}{rl}
x=r sen(\theta)cos(\phi) \\
y=r sen(\theta)sen(\phi) \\
z=r cos(\theta)
\end{array}
$$

Con $\theta \in[0,\pi/3]$, $\phi \in[0,2\pi]$, $r\in[0,1]$.

svolgendo gli integrali:

\begin{equation}
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\pi/3} \int_{0}^{2\pi} (2rsen(\theta)cos(\phi)-r cos(\theta))r^2sen(\theta)d\phi d\theta dr=-\frac{3}{16}\pi
\end{equation}

Io so che il flusso uscente deve essere positivo, ma non riesco a capire dove sbaglio.

Grazie a tutti in anticipo

[HaldoSax]

Grazie Tem, risposta molto esauriente. Buona giornata