Flusso di un campo vettoriale
Ciao a tutti, ho riscontrato alcuni problemi nel risolvere questo esercizio sul flusso di un campo vettoriale:
Sia S la porzione di piano, di equazione cartesiana $z=x+y+1$ , che si proietta ortogonalmente sul piano $xy$ nel triangolo T di vertici $(0,0),(2,0),(0,1)$. Orientiamo S nel verso dell'asse z, denotiamo con +S tale orientamento e con n(P) il versore normale positivo nel generico punto P. Si calcoli il flusso del campo vettoriale $v(x,y,z)=x(1+y)i+(z+x)k$ attraverso la superficie orientata +S.
Allora, sul libro (il cui procedimento è comunque svolto), mi dice che:
S è il sostegno della superficie regolare:
$P(u,v)=(u,v,u+v+1)$
Con
$(u,v) \in T={(u,v): u\in[0,2], v\in[0,-1/2 u+1]}$
Non riesco a capire come abbia ricavato T. Grazie mille.
Sia S la porzione di piano, di equazione cartesiana $z=x+y+1$ , che si proietta ortogonalmente sul piano $xy$ nel triangolo T di vertici $(0,0),(2,0),(0,1)$. Orientiamo S nel verso dell'asse z, denotiamo con +S tale orientamento e con n(P) il versore normale positivo nel generico punto P. Si calcoli il flusso del campo vettoriale $v(x,y,z)=x(1+y)i+(z+x)k$ attraverso la superficie orientata +S.
Allora, sul libro (il cui procedimento è comunque svolto), mi dice che:
S è il sostegno della superficie regolare:
$P(u,v)=(u,v,u+v+1)$
Con
$(u,v) \in T={(u,v): u\in[0,2], v\in[0,-1/2 u+1]}$
Non riesco a capire come abbia ricavato T. Grazie mille.
Risposte
se ti faccio osservare che $y=-1/2x+1$ è l'equazione della retta passante per $(2,0)$ e $(0,1)$,la cosa si chiarisce 
?
?
Uhm, direi di sì in questo caso particolare.. Spero di non trovarmi troppo in difficoltà con altri esercizi 
grazie!!
grazie!!
Sempre su questo tipo di esercizi, sto provando a svolgere questo:
Sia S la superficie diagramma della funzione:
$f(x,y)=xseny , (x,y)\in[-1,1]\times[0,\pi/2]$
Considerato il campo vettoriale:
$v(x,y,z)=xcosyi+j+x^3zk$
Determinare il flusso di v attraverso S orientata nel verso positivo dell'asse z.
Poichè il mio problema è sempre sul trovare la superficie regolare, ho ipotizzato che:
$P(u,\theta)=(ucos\theta,usen\theta,usen\theta) ,u\in[-1,1], \theta\in[0,\pi/2]$
È giusto? :S grazie mille...
Sia S la superficie diagramma della funzione:
$f(x,y)=xseny , (x,y)\in[-1,1]\times[0,\pi/2]$
Considerato il campo vettoriale:
$v(x,y,z)=xcosyi+j+x^3zk$
Determinare il flusso di v attraverso S orientata nel verso positivo dell'asse z.
Poichè il mio problema è sempre sul trovare la superficie regolare, ho ipotizzato che:
$P(u,\theta)=(ucos\theta,usen\theta,usen\theta) ,u\in[-1,1], \theta\in[0,\pi/2]$
È giusto? :S grazie mille...
No: quello che stai facendo è sostituire $x\to u$ e $y\to\theta$, che tra l'altro va benissimo, ma ti restituisce la forma parametrica seguente
$$P(u,\theta)=(u,\theta,u\sin\theta)$$
$$P(u,\theta)=(u,\theta,u\sin\theta)$$
E non è una superficie di rotazione? Perchè sul libro c'è un esempio con il tronco di cono e mi da una superficie regolare del tipo che ho scritto sopra..
E anche se fosse? Tu stai sostituendo banalmente le variabili, non è che hai fatto chissà quale riparametrizzazione. Tra l'altro, se tu poni
$x=u\cos\theta,\ y=u\sin\theta,\ z=u\sin\theta$
ti rendi conto da te c'è qualcosa che non va, visto per te $z=x\sin y=u\cos\theta\cdot\sin(u\sin\theta)$ sostituendo.
$x=u\cos\theta,\ y=u\sin\theta,\ z=u\sin\theta$
ti rendi conto da te c'è qualcosa che non va, visto per te $z=x\sin y=u\cos\theta\cdot\sin(u\sin\theta)$ sostituendo.
Ok che sto facendo una semplice sostituzione, ma a questo punto non capisco perchè sull'esempio che ho citato prima la sostituzione viene $x=ucos\theta, y=usen\theta, z=u$ Con una rotazione di $\alpha=2\pi$ e $z=x, x\in[1,2]$
Quando ho chiesto al professore perchè intervenissero sen e cos, lui mi ha rimandato ad una pagina del libro in cui, dopo aver osservato che questa rotazione mi dava un tronco di cono, la superficie era appunto scritta come ho appena detto.. Non capisco perchè qui non dovrei mettere sen e cos..
Magari, non so, questo è un caso "particolare", mentre l'esempio di prima è in generale?
Quando ho chiesto al professore perchè intervenissero sen e cos, lui mi ha rimandato ad una pagina del libro in cui, dopo aver osservato che questa rotazione mi dava un tronco di cono, la superficie era appunto scritta come ho appena detto.. Non capisco perchè qui non dovrei mettere sen e cos..
Magari, non so, questo è un caso "particolare", mentre l'esempio di prima è in generale?
Se usi $x=u\cos\theta,\ y=u\sin\theta,\ z=u$, puoi vedere facilmente che $z=\sqrt{x^2+y^2}$.
La parametrizzazione della superficie va fatta in relazione alla superficie $z=f(x,y)$ che hai e, in generale, se poni $x=x(u,v),\ y=y(u,v)$ allora verrà fuori $z=f(x(u,v),y(u,v))$. Nel caso attuale, visto che imporre $z=u\sin\theta$ è una buona scelta, sia dal punto di vista del calcolo che da quello logico, è ovvio che devi scegliere $x=u,\ y=\theta$. Tra l'altro tale superficie non è di rotazione, per cui ciò che dici non ha proprio senso.
La parametrizzazione della superficie va fatta in relazione alla superficie $z=f(x,y)$ che hai e, in generale, se poni $x=x(u,v),\ y=y(u,v)$ allora verrà fuori $z=f(x(u,v),y(u,v))$. Nel caso attuale, visto che imporre $z=u\sin\theta$ è una buona scelta, sia dal punto di vista del calcolo che da quello logico, è ovvio che devi scegliere $x=u,\ y=\theta$. Tra l'altro tale superficie non è di rotazione, per cui ciò che dici non ha proprio senso.
"ciampax":
Tra l'altro tale superficie non è di rotazione, per cui ciò che dici non ha proprio senso.
In effetti nel testo dell'esercizio sul tronco di cono era esplicitato che fosse una superficie di rotazione mentre nell'altro esercizio no.. Mi sono creata un problema che non c'era..
Comunque continuando l'esercizio di prima ho che:
$\int\int_{[-1,1]\times[0,\pi/2]} (ucos\theta)(-sen\theta)-ucos\theta+u^3(usen\theta) dud\theta$ corretto?
Dunque, quello che puoi fare è anche evitare di sostituire coordinate parametriche e andarti a calcolare vettori normali e altro. In generale, infatti, se hai un campo vettoriale $\mathbf{F}(x,y,z)$ e una superficie $z=f(x,y)$ allora è noto che per il flusso di tale campo attraverso questa superficie si ha
$$\Phi(\mathbf{F})=\int_D \mathbf{F}(x,y,z)\bullet\left(-f_x,-f_y,1\right)\ dx\ dy$$
essendo $D$ il dominio in cui variano $(x,y)$, e $(-f_x,-f_y,1)$ il vettore normale orientato in direzione dell'asse positivo delle $z$. Facendo due conti si ha, ricordando che $z=x\sin y$ e osservando che
$$(-f_x,-f_y,1)=(-\sin y,-x\cos y,1)$$
$$\int_{-1}^1\int_0^{\pi/2} (x\cos y, 1, x^4\sin y)\bullet(-\sin y,-x\cos y,1)\ dx\ dy=\\ \int_{-1}^1\int_0^{\pi/2}(-x\sin y\cos y-x\cos y+x^4\sin y)\ dx\ dy$$
che mi sembra coincida (basta sostituire $x,y$ con $u\,theta$) con quanto hai scritto tu.
$$\Phi(\mathbf{F})=\int_D \mathbf{F}(x,y,z)\bullet\left(-f_x,-f_y,1\right)\ dx\ dy$$
essendo $D$ il dominio in cui variano $(x,y)$, e $(-f_x,-f_y,1)$ il vettore normale orientato in direzione dell'asse positivo delle $z$. Facendo due conti si ha, ricordando che $z=x\sin y$ e osservando che
$$(-f_x,-f_y,1)=(-\sin y,-x\cos y,1)$$
$$\int_{-1}^1\int_0^{\pi/2} (x\cos y, 1, x^4\sin y)\bullet(-\sin y,-x\cos y,1)\ dx\ dy=\\ \int_{-1}^1\int_0^{\pi/2}(-x\sin y\cos y-x\cos y+x^4\sin y)\ dx\ dy$$
che mi sembra coincida (basta sostituire $x,y$ con $u\,theta$) con quanto hai scritto tu.
Il mio professore è un pò puntiglioso e sebbene sia la stessa cosa credo lascerò u e v (in questo caso theta).
Adesso ho solo un ultimo problemino nel risolvere $\int-ucos\thetasen\theta d\theta$
che è un integrale del tipo
$\intf(x)f'(x)dx$ e dovrebbe venire $u(cos^2\theta)/2$
Non capisco che metodo è stato usato o.O
Adesso ho solo un ultimo problemino nel risolvere $\int-ucos\thetasen\theta d\theta$
che è un integrale del tipo
$\intf(x)f'(x)dx$ e dovrebbe venire $u(cos^2\theta)/2$
Non capisco che metodo è stato usato o.O
Puoi vederlo così: in generale
$$\int [f(x)]^n f'(x)\ dx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1},\qquad n\ne -1$$
Tuttavia, se devo essere sincero, a me ricordare queste "formule" fa un po' schifo. Preferisco ragionare così: dovendo integrare
$$I=\int(-\cos\theta\sin\theta)\ d\theta$$
pongo $\cos\theta=t$ e osservo che $dt=-\sin\theta\ dt$, per cui
$$I=\int t\ dt=\frac{t^2}{2}$$
Riguardo alla puntigliosità: anche io sono un docente, e ti assicuro che quello che ti ho scritto è "puntiglioso"!
$$\int [f(x)]^n f'(x)\ dx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1},\qquad n\ne -1$$
Tuttavia, se devo essere sincero, a me ricordare queste "formule" fa un po' schifo. Preferisco ragionare così: dovendo integrare
$$I=\int(-\cos\theta\sin\theta)\ d\theta$$
pongo $\cos\theta=t$ e osservo che $dt=-\sin\theta\ dt$, per cui
$$I=\int t\ dt=\frac{t^2}{2}$$
Riguardo alla puntigliosità: anche io sono un docente, e ti assicuro che quello che ti ho scritto è "puntiglioso"!
Grazie mille 
Scusate ancora il disturbo 
generalmente preferirei risolvere gli esercizi con l'aiuto di WolframAlpha, ma non saprei come impostarli ... Comunque mi trovo a risolvere questo esercizio (non dispongo del testo preciso, non ho trovato di meglio..)
$f(x,y)=2^yarcsenx$ verso negativo dell'asse z con $(x,y)\in[0,1/2]^2$. Il campo vettoriale è
$v(x,y,z)=1/(\sqrt(-x^2+1)) i+ x/(arcsen(x)) j+ 1/(\sqrt(-x^2+3x+2))k$
Ho trovato la superficie regolare:
$P(u,v)= (u,v,2^varcsen(u))$
Il flusso è dato da:
$-\int_0^(1/2)\int_0^(1/2) (1/(\sqrt(-u^2+1)))(2^v/(\sqrt(-u^2+1)))+(u/(arcsen(u)))(-2^vlog2\arcsen(u))+(1/(\sqrt(-u^2+3u+2)))dudv$
Adesso devo "solo" risolvere l'integrale.. Corretto?
generalmente preferirei risolvere gli esercizi con l'aiuto di WolframAlpha, ma non saprei come impostarli ... Comunque mi trovo a risolvere questo esercizio (non dispongo del testo preciso, non ho trovato di meglio..)$f(x,y)=2^yarcsenx$ verso negativo dell'asse z con $(x,y)\in[0,1/2]^2$. Il campo vettoriale è
$v(x,y,z)=1/(\sqrt(-x^2+1)) i+ x/(arcsen(x)) j+ 1/(\sqrt(-x^2+3x+2))k$
Ho trovato la superficie regolare:
$P(u,v)= (u,v,2^varcsen(u))$
Il flusso è dato da:
$-\int_0^(1/2)\int_0^(1/2) (1/(\sqrt(-u^2+1)))(2^v/(\sqrt(-u^2+1)))+(u/(arcsen(u)))(-2^vlog2\arcsen(u))+(1/(\sqrt(-u^2+3u+2)))dudv$
Adesso devo "solo" risolvere l'integrale.. Corretto?
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