Flusso di un campo vettoriale
Buongiorno a tutti. Ho un problema che non riesco a risolvere..
Non riesco a capire quando posso utilizzare le formule per il calcolo del flusso.
- la formula generale $ int int_(D)^( ) F(r(u,v))(r_u xx r_v) du dv $ da quanto ho capito (se non si complica la situazione dei calcoli) posso usarla sempre.
- teorema della divergenza posso usarlo solo nel caso in cui il mio dominio D sia un insieme limitato con Bordo regolare o regolare a tratti.
- teorema del rotore posso usarlo solo se ho a che fare con una superficie piana regolare e semplice.
Se mi confermate questo vorrei fare ulteriori domande
procedo a pezzi perché se sbaglio qui poi subentrano altri errori nelle successive domande e poi non ci capiamo più
Grazie a tutti in anticipo
Non riesco a capire quando posso utilizzare le formule per il calcolo del flusso.
- la formula generale $ int int_(D)^( ) F(r(u,v))(r_u xx r_v) du dv $ da quanto ho capito (se non si complica la situazione dei calcoli) posso usarla sempre.
- teorema della divergenza posso usarlo solo nel caso in cui il mio dominio D sia un insieme limitato con Bordo regolare o regolare a tratti.
- teorema del rotore posso usarlo solo se ho a che fare con una superficie piana regolare e semplice.
Se mi confermate questo vorrei fare ulteriori domande
procedo a pezzi perché se sbaglio qui poi subentrano altri errori nelle successive domande e poi non ci capiamo più Grazie a tutti in anticipo
Risposte
Più o meno è giusto, vorrei solo segnalare che:
1) La formula generale è sbagliata. Cos'è $F$? Se è un vettore, allora dovresti prendere il prodotto scalare con $r_u\times r_v$. E poi $r_u \times r_v$ va anche normalizzato, altrimenti dipenderebbe dalla particolare parametrizzazione.
2) Non ti preoccupare troppo delle ipotesi di regolarità sul bordo del dominio (per il teorema della divergenza) o della superficie (per il teorema del rotore di Stokes). Nella pratica sono "sempre" verificate. Il tuo dominio deve essere proprio brutto forte, altrimenti (tipo, avere un bordo frattale o schifezze del genere).
3) Occhio che col teorema del rotore si calcola la circuitazione, non il flusso. Inoltre, esso è applicabile anche se la superficie non è piana.
1) La formula generale è sbagliata. Cos'è $F$? Se è un vettore, allora dovresti prendere il prodotto scalare con $r_u\times r_v$. E poi $r_u \times r_v$ va anche normalizzato, altrimenti dipenderebbe dalla particolare parametrizzazione.
2) Non ti preoccupare troppo delle ipotesi di regolarità sul bordo del dominio (per il teorema della divergenza) o della superficie (per il teorema del rotore di Stokes). Nella pratica sono "sempre" verificate. Il tuo dominio deve essere proprio brutto forte, altrimenti (tipo, avere un bordo frattale o schifezze del genere).
3) Occhio che col teorema del rotore si calcola la circuitazione, non il flusso. Inoltre, esso è applicabile anche se la superficie non è piana.
Grazie mille..
Per il punto 1) volevo specificare che $ F $ é il mio campo vettoriale..
Per il punto 3) invece ero convinto al 100% che si calcolasse il flusso :O. Un esercizio infatti mi chiedeva di calcolare il flusso attraverso la superficie laterale di un cono... Per risolverlo hanno successivamente applicato stokes al cerchio di base
mi sa che è un punto un po' confuso questo per me...
Ora mi sorge la seguente domanda: se $ div F = 0 $ il flusso é di conseguenza nullo?
Volevo ora se possibile postare un esercizio perché non riesco a capire come mai col teorema della divergenza e con la definizione di flusso non ottengo lo stesso risultato.
L'esercizio in questione é il seguente: Calcolare il flusso del campo vettoriale $F = (x,y,z)$ attraverso la superficie di grafico $z=1-(x^2+y^2)$ per $x^2+y^2<= 1$ con normale orientata verso l'alto.
con la definizione di flusso mi risulta $3/2 pi$
con il teorema della divergenza mi risulta $pi/2$
Grazie ancora a tutti in anticipo
Per il punto 1) volevo specificare che $ F $ é il mio campo vettoriale..
Per il punto 3) invece ero convinto al 100% che si calcolasse il flusso :O. Un esercizio infatti mi chiedeva di calcolare il flusso attraverso la superficie laterale di un cono... Per risolverlo hanno successivamente applicato stokes al cerchio di base
mi sa che è un punto un po' confuso questo per me...Ora mi sorge la seguente domanda: se $ div F = 0 $ il flusso é di conseguenza nullo?
Volevo ora se possibile postare un esercizio perché non riesco a capire come mai col teorema della divergenza e con la definizione di flusso non ottengo lo stesso risultato.
L'esercizio in questione é il seguente: Calcolare il flusso del campo vettoriale $F = (x,y,z)$ attraverso la superficie di grafico $z=1-(x^2+y^2)$ per $x^2+y^2<= 1$ con normale orientata verso l'alto.
con la definizione di flusso mi risulta $3/2 pi$
con il teorema della divergenza mi risulta $pi/2$
Grazie ancora a tutti in anticipo
Nell'esercizio, sicuro di non esserti scordato la base della calotta sferica?
Per il resto, tieni presente che il teorema di Stokes riduce un integrale di superficie ad un integrale di linea. Quest'ultimo è una circuitazione. Il primo integrale potrebbe essere un flusso, ma non in maniera automatica. Dai un'occhiata alla pagina di MathInsight:
http://mathinsight.org/stokes_theorem_idea
Per il resto, tieni presente che il teorema di Stokes riduce un integrale di superficie ad un integrale di linea. Quest'ultimo è una circuitazione. Il primo integrale potrebbe essere un flusso, ma non in maniera automatica. Dai un'occhiata alla pagina di MathInsight:
http://mathinsight.org/stokes_theorem_idea
Ehm... Si... Basta che pongo la $ z=0 $ e risolvo?? Ho provato ma essendo $z=0$ di conseguenza quando integro la $z$ ottengo $0$ o mi perdo qualche passaggio?
Per stokes l'inglese non è il mio forte... Non capisco... In parole povere il flusso uguaglia la circuitazione???
Per stokes l'inglese non è il mio forte... Non capisco... In parole povere il flusso uguaglia la circuitazione???
Sull'esercizio hai ragione, mi era sfuggito che $F$ si annulla sul piano $xy$. In effetti rileggendo meglio vedo che l'esercizio ti chiede il flusso SOLO attraverso la parte superiore della calotta, che non è chiusa e quindi a priori non si può applicare il teorema della divergenza.
In realtà il flusso attraverso la sola parte superiore e il flusso attraverso l'intera calotta chiusa sono la stessa cosa, visto che $F$ si annulla sulla parte di sotto. Perciò puoi applicare il teorema della divergenza: siccome la divergenza di $F$ vale $1$, ottieni che il valore dell'integrale è uguale al volume della calotta sferica, ovvero la metà del volume della sfera di raggio $1$.
Il risultato è quindi $2/3 pi$.
---
P.S.: Non ci siamo: l'inglese bisogna conoscerlo. Se non conosci l'inglese puoi avere pure dieci lauree, non valgono niente. TUTTA la letteratura scientifica e tecnica è in inglese. Ormai pure gli italiani scrivono in inglese.
Quindi vedi di sforzarti.
In realtà il flusso attraverso la sola parte superiore e il flusso attraverso l'intera calotta chiusa sono la stessa cosa, visto che $F$ si annulla sulla parte di sotto. Perciò puoi applicare il teorema della divergenza: siccome la divergenza di $F$ vale $1$, ottieni che il valore dell'integrale è uguale al volume della calotta sferica, ovvero la metà del volume della sfera di raggio $1$.
Il risultato è quindi $2/3 pi$.
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P.S.: Non ci siamo: l'inglese bisogna conoscerlo. Se non conosci l'inglese puoi avere pure dieci lauree, non valgono niente. TUTTA la letteratura scientifica e tecnica è in inglese. Ormai pure gli italiani scrivono in inglese.
Quindi vedi di sforzarti.
Innanzitutto volevo ringraziarti perché, volevo esser sincero, appena ho visto che era in inglese non mi sono sforzato e ho riletto il mio libro dove era spiegato peggio. Invece era una lettura fattibile e credo di aver compreso abbastanza.
Sono giunto alla conclusione che (magari ditemi se sbaglio):
- posso usarlo solo nel caso di un campo vettoriale con due componenti.
- uguaglia l'integrale di linea di II specie lungo il bordo della superficie (chiusa) (circuitazione del campo) a un integrale doppio del rotore del campo sulla superficie stessa.
- cambiando superficie senza cambiare il suo bordo il risultato non cambia.
Non sono riuscito però a cogliere il punto che avrei dovuto cogliere: la relazione col flusso. Forse in alcuni casi flusso e circuitazione si eguagliano? Spero di non aver detto una cavolata enorme.
Grazie ancora in anticipo
Sono giunto alla conclusione che (magari ditemi se sbaglio):
- posso usarlo solo nel caso di un campo vettoriale con due componenti.
- uguaglia l'integrale di linea di II specie lungo il bordo della superficie (chiusa) (circuitazione del campo) a un integrale doppio del rotore del campo sulla superficie stessa.
- cambiando superficie senza cambiare il suo bordo il risultato non cambia.
Non sono riuscito però a cogliere il punto che avrei dovuto cogliere: la relazione col flusso. Forse in alcuni casi flusso e circuitazione si eguagliano? Spero di non aver detto una cavolata enorme.
Grazie ancora in anticipo
Ciao
Flusso e circuitazione sono due cose completamente diverse. Il flusso è attraverso una superficie (di solito chiusa), la circuitazione è lungo una curva chiusa. Il teorema di Stokes permette di trasformare un integrale di flusso attraverso una superficie non chiusa in una circuitazione e viceversa. Di solito si usa per calcolare le circuitazioni, proprio come "di solito" si usa il teorema della divergenza per calcolare i flussi. Ma nessuno vieta di andare nell'altro senso, in effetti. Questo avrei dovuto dirlo meglio, prima.
Flusso e circuitazione sono due cose completamente diverse. Il flusso è attraverso una superficie (di solito chiusa), la circuitazione è lungo una curva chiusa. Il teorema di Stokes permette di trasformare un integrale di flusso attraverso una superficie non chiusa in una circuitazione e viceversa. Di solito si usa per calcolare le circuitazioni, proprio come "di solito" si usa il teorema della divergenza per calcolare i flussi. Ma nessuno vieta di andare nell'altro senso, in effetti. Questo avrei dovuto dirlo meglio, prima.
Quindi se io volessi calcolare il flusso attraverso il teorema di stokes come devo fare? Che condizioni devono essere rispettate??
Ma almeno l'enunciato lo hai letto? Non è che ci sia tanto da dire. Se poi ti leggi un po' di MathInsight, trovi pure delle figure e delle animazioni 3d che te lo fanno anche visualizzare per bene. Una volta che hai capito bene il teorema, puoi pensare a come applicarlo. Purtroppo ci devi ragionare un pochino su altrimenti non riesci a capirlo veramente
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