Flusso di un campo vet. attraverso la frontiera
Ciao a tutti potete darmi una mano con questo esercizio? Non riesco a capire come impostarlo!
Calcolare il flusso di $F(x,y,z)=x i+yj+zk$ attraverso la frontiera del solido:
$E={(x,y,z)∈R^3:0≤z≤1−x^2−y^2}$.
Calcolare il flusso di $F(x,y,z)=x i+yj+zk$ attraverso la frontiera del solido:
$E={(x,y,z)∈R^3:0≤z≤1−x^2−y^2}$.
Risposte
Il solido è il semiparaboloide superiore limitata dal piano $z=0$. Considerando che tale solido è "chiuso" (nel senso che $E$ è costituito da tutto l'interno della mezza palla), io userei il Teorema della Divergenza.
Allora posto il testo completo dell'esercizio:
i) Calcolare il flusso del campo vettoriale $ F(x, y, z) = x i+yj +zk $ uscente dalla porzione di paraboloide di
equazione $z = 1 − x^2 − y^2$ contenuta nel semispazio $z >= 0$.
ii) Calcolare il flusso di F attraverso la frontiera del solido:
$E = {(x, y, z) ∈R^3 : 0 <= z<= 1 − x^2 − y^2}$
Allora io ho ragionato sul primo punto e ho applicato il teorema della divergenza,ottenendo che il flusso è pari a $3/2π$; il mio problema è che non riesco a capire la differenza tra il primo e il secondo punto perchè mi sembra che chiedano la stessa cosa!!
i) Calcolare il flusso del campo vettoriale $ F(x, y, z) = x i+yj +zk $ uscente dalla porzione di paraboloide di
equazione $z = 1 − x^2 − y^2$ contenuta nel semispazio $z >= 0$.
ii) Calcolare il flusso di F attraverso la frontiera del solido:
$E = {(x, y, z) ∈R^3 : 0 <= z<= 1 − x^2 − y^2}$
Allora io ho ragionato sul primo punto e ho applicato il teorema della divergenza,ottenendo che il flusso è pari a $3/2π$; il mio problema è che non riesco a capire la differenza tra il primo e il secondo punto perchè mi sembra che chiedano la stessa cosa!!
Ops, avevo letto $z^2\le...$, ora ho corretto.
Bé, c'è una differenza sostanziale tra i due punti: nel primo caso la superficie da considerare è solo quella del paraboloide, mentre nel secondo a questa va aggiunto il cerchio di equazione $x^2+y^2=1$ sul piano $z=0$.
Puoi applicare il teorema della divergenza in entrambi i casi, ma facendo alcune considerazioni diverse. Schematizziamo la cosa: indichiamo con $P$ la superficie del paraboloide, con $C$ quella del cerchio e con $E$ il solido (l'interno). Ora, nel secondo caso puoi applicare il teorema della divergenza senza problemi, visto che la superficie totale è data dall'unione di $P$ e $C$. Nel primo caso, invece, se vuoi usare il teorema, devi scrivere così
$$\iiint_E\nabla\bullet F\ dV=\int_P F\bullet d\sigma+\int_C F\bullet d\sigma$$
e quindi il flusso cercato è pari a
$$\int_P F\bullet d\sigma=\iiint_E\nabla\bullet F\ dV-\int_C F\bullet d\sigma$$
Spero sia chiaro.
Bé, c'è una differenza sostanziale tra i due punti: nel primo caso la superficie da considerare è solo quella del paraboloide, mentre nel secondo a questa va aggiunto il cerchio di equazione $x^2+y^2=1$ sul piano $z=0$.
Puoi applicare il teorema della divergenza in entrambi i casi, ma facendo alcune considerazioni diverse. Schematizziamo la cosa: indichiamo con $P$ la superficie del paraboloide, con $C$ quella del cerchio e con $E$ il solido (l'interno). Ora, nel secondo caso puoi applicare il teorema della divergenza senza problemi, visto che la superficie totale è data dall'unione di $P$ e $C$. Nel primo caso, invece, se vuoi usare il teorema, devi scrivere così
$$\iiint_E\nabla\bullet F\ dV=\int_P F\bullet d\sigma+\int_C F\bullet d\sigma$$
e quindi il flusso cercato è pari a
$$\int_P F\bullet d\sigma=\iiint_E\nabla\bullet F\ dV-\int_C F\bullet d\sigma$$
Spero sia chiaro.
Sinceramente mi sto un attimo confondendo,non potresti spiegarmelo nella pratica indicandomi come svolgere l'esercizio?
Considerazione generale: il Teorema della divergenza si applica quando la superficie attraverso cui calcolare il flusso "chiude" completamente, al suo interno, uno spazio "solido". Se allora $D$ è tale spazio e $S=\partial D$ è la superficie che lo contiene, sappiamo che il teorema afferma quanto segue
$$\iiint_D \nabla\bullet F\ dV=\int_S F\bullet n\ d\sigma$$
(l'integrale a destra è quello che determina il flusso attraverso $S$).
Detto questo, vediamo come ragionare sui due casi: per prima cosa osserviamo che il nostro solido $E$ è circondato da due superfici. Una è quella del paraboloide $z=1-x^2-y^2$ con $z\ge 0$, l'altra è data dalla base del paraboloide che si ottiene per $z=0$ e che coincide con il cerchio $x^2+y^2\le 1$. Indicate le due superfici con $P$ e $C$ abbiamo che $\partial E=P\cup C$ (il bordo che racchiude $E$). Quindi, nel secondo caso possiamo usare il teorema della divergenza e scrivere
$$\int_{\partial E} F\bullet n\ ds=\iiint_E \nabla\bullet F\ dV$$
e fin qui la cosa è semplice (l'integrale a destra, in sostanza, è pari a $3$ volte - la divergenza di $F$ - il volume del solido $E$).
Nel primo caso, invece, quello che ci serve è solo il flusso attraverso $P$: per calcolarlo possiamo ancora usare il teorema della divergenza, ma con una variante. Infatti abbiamo che
$$\int_{\partial E} F\bullet n\ d\sigma=\int_P F\bullet n\ d\sigma+\int_C F\bullet n\ d\sigma$$
e quindi risulta, per quanto scritto prima,
$$\int_P F\bullet n\ d\sigma=\iiint_E \nabla\bullet F\ dV-\int_C F\bullet n\ d\sigma$$
Così è più chiaro o vuoi anche tutti i conti?
$$\iiint_D \nabla\bullet F\ dV=\int_S F\bullet n\ d\sigma$$
(l'integrale a destra è quello che determina il flusso attraverso $S$).
Detto questo, vediamo come ragionare sui due casi: per prima cosa osserviamo che il nostro solido $E$ è circondato da due superfici. Una è quella del paraboloide $z=1-x^2-y^2$ con $z\ge 0$, l'altra è data dalla base del paraboloide che si ottiene per $z=0$ e che coincide con il cerchio $x^2+y^2\le 1$. Indicate le due superfici con $P$ e $C$ abbiamo che $\partial E=P\cup C$ (il bordo che racchiude $E$). Quindi, nel secondo caso possiamo usare il teorema della divergenza e scrivere
$$\int_{\partial E} F\bullet n\ ds=\iiint_E \nabla\bullet F\ dV$$
e fin qui la cosa è semplice (l'integrale a destra, in sostanza, è pari a $3$ volte - la divergenza di $F$ - il volume del solido $E$).
Nel primo caso, invece, quello che ci serve è solo il flusso attraverso $P$: per calcolarlo possiamo ancora usare il teorema della divergenza, ma con una variante. Infatti abbiamo che
$$\int_{\partial E} F\bullet n\ d\sigma=\int_P F\bullet n\ d\sigma+\int_C F\bullet n\ d\sigma$$
e quindi risulta, per quanto scritto prima,
$$\int_P F\bullet n\ d\sigma=\iiint_E \nabla\bullet F\ dV-\int_C F\bullet n\ d\sigma$$
Così è più chiaro o vuoi anche tutti i conti?
Sì mi è tutto più chiaro,grazie per i suggerimenti! Però vorrei chiederti una cosa riguardante il primo punto e cioè dal momento che per calcolare il flusso attraverso P devo calcolare il flusso attraverso il cerchio e quindi utilizzare le coordinate cilindriche,calcolare le derivate parziali della superficie parametrizzata e poi il loro prodotto vettoriale per calcolare la normale,non mi converrebbe direttamente utilizzare la definizione di flusso?
Volendo anche. Tuttavia io trovo più facile usare comunque il teorema della divergenza in quanto l'integrale triplo è abbastanza immediato, e una volta calcolato ti serve per il secondo punto, mentre l'integrale sulla circonferenza si può calcolare facilmente osservando che hai la parametrizzazione
$$x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta,\ z=0,\qquad n=(0,0,-1)$$
e pertanto viene fuori
$$\int_C F\bullet n\ d\sigma=\int -z\ d\sigma=0$$
$$x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta,\ z=0,\qquad n=(0,0,-1)$$
e pertanto viene fuori
$$\int_C F\bullet n\ d\sigma=\int -z\ d\sigma=0$$
Okok grazie per l'aiuto che mi stai dando 
un'ultima cosa utilizzando il tuo stesso metodo a me viene $n=(0,0,u)$ dove ho sbagliato? Io calcolo semplicemente le componenti del prodotto vettoriale,per caso devo tener conto della norma del vettore?
un'ultima cosa utilizzando il tuo stesso metodo a me viene $n=(0,0,u)$ dove ho sbagliato? Io calcolo semplicemente le componenti del prodotto vettoriale,per caso devo tener conto della norma del vettore?
E $u$ che sarebbe? Comunque $n$ è il versore normale alla superficie, uscente da essa. Senza fare calcoli, dal momento che il cerchio si trova sul piano $z=0$, tale versore è parallelo all'asse delle $z$, e deve essere rivolto verso il basso, ecco perché viene $n=(0,0,-1)$.
Ora ho capito,io avevo parametrizzato il cerchio con coordinate cilindriche e avevo calcolato la normale come prodotto vettoriale tra le derivate parziali rispetto a p e θ della superficie parametrizzata ottenendo $n=(0,0,p)$ (con u mi riferivo a p),ma non occorre come mi hai spiegato! Però non capisco perchè la terza componente della normale è $-1$? Io credevo che quando l'esercizio richiede il verso uscente, la terza componente deve essere positiva,dove sbaglio?
Inoltre,allora devo sempre considerare il versore normale,quindi la norma di n deve essere sempre unitaria quando vado a calcolare il flusso come integrale del prodotto tra il campo vettoriale F e n?
Inoltre,allora devo sempre considerare il versore normale,quindi la norma di n deve essere sempre unitaria quando vado a calcolare il flusso come integrale del prodotto tra il campo vettoriale F e n?
Hai provato a immaginare come è fatto $E$? Il paraboloide ha un massimo in $(0,0,1)$ (punto) per cui è rovesciato verso il basso. Pertanto il cerchio che lo chiude sul piano $z=0$ ha normale uscente che va in senso contrario a come è orientato l'asse $z$.
Sì, la definizione di flusso si fa con il versore (vettore unitario) normale.
Sì, la definizione di flusso si fa con il versore (vettore unitario) normale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo