Flusso del rotore - versore normale
Ciao ragazzi, il problema è il seguente:
Detta S la semisfera definita da
$ S: {(x,y,z): x^2+y^2+z^2=1, z \geq y-x}$,
si calcoli, mediante il teorema di Stokes, il flusso del rotore del campo $F=(x+y,y,z)$ uscente da $S$.
[Sugg. si osservi che l'equazione del bordo di S è equivalente a: $X^2+Y^2=2$, ove $X=y-2x$ e $Y=sqrt(3)y$]
Svolgimento:
Sostanzialmente ci sono due strade:
1) I metodo Osservo che la forma differenziale $\omega=(x+y)dx+y dy+z dz$ è somma di una forma differenziale esatta e della forma differenziale $\omega1=y dx$.
Quindi mi basterà calcolare l'integrale curvilineo di $\omega1=y dx$ lungo la circonferenza di equazione $X^2+Y^2=2$.
Bene, parametrizzo la circonferenza e svolgo l'integrale. Il risultato che ottengo è $-\pi/sqrt(3)$.
Il risultato, stando alla correzione dell'esame, è corretto.
2) II metodo: Sempre grazie al teorema del rotore, calcolo direttamente il flusso uscente dal disco contenuto nel piano $z=y-x$.
$rotF=$$det((i,j,k),(dx,dy,dz),(x+y,y,z))$ $=(0,0,-1)$.
Arrivano le note dolenti:
Devo trovare il versore normale ed uscente alla superficie. Essendo contenuta nel piano $z=y-x$ il versore normale sarà :
$n=1/sqrt(3)(1,-1,1)$
e quindi $rotF * n = -1/sqrt(3)$
La superficie $S$ è il grafico della funzione $f:K->R^3$ , $f(x,y)=y-x$ , dove $K$ è un cerchio massimo nella sfera unitaria.
Si ha che $S=\sigma(K)$, dove $\sigma(x,y)=(x,y,f(x.y))=(x,y,y-x)$
Ottengo:
$\int_{S} rotF * n dS = \int\int_{K} -1/sqrt(3)*sqrt(3) dxdy = -\pi$
con $dS=sqrt(1+(f'_{x})^2+(f'_{y})^2)=sqrt(3)$
Come vedete i due risultati non coincidono. Dove sbaglio? Non devo normalizzare il vettore normale?
Grazie mille
Detta S la semisfera definita da
$ S: {(x,y,z): x^2+y^2+z^2=1, z \geq y-x}$,
si calcoli, mediante il teorema di Stokes, il flusso del rotore del campo $F=(x+y,y,z)$ uscente da $S$.
[Sugg. si osservi che l'equazione del bordo di S è equivalente a: $X^2+Y^2=2$, ove $X=y-2x$ e $Y=sqrt(3)y$]
Svolgimento:
Sostanzialmente ci sono due strade:
1) I metodo Osservo che la forma differenziale $\omega=(x+y)dx+y dy+z dz$ è somma di una forma differenziale esatta e della forma differenziale $\omega1=y dx$.
Quindi mi basterà calcolare l'integrale curvilineo di $\omega1=y dx$ lungo la circonferenza di equazione $X^2+Y^2=2$.
Bene, parametrizzo la circonferenza e svolgo l'integrale. Il risultato che ottengo è $-\pi/sqrt(3)$.
Il risultato, stando alla correzione dell'esame, è corretto.
2) II metodo: Sempre grazie al teorema del rotore, calcolo direttamente il flusso uscente dal disco contenuto nel piano $z=y-x$.
$rotF=$$det((i,j,k),(dx,dy,dz),(x+y,y,z))$ $=(0,0,-1)$.
Arrivano le note dolenti:
Devo trovare il versore normale ed uscente alla superficie. Essendo contenuta nel piano $z=y-x$ il versore normale sarà :
$n=1/sqrt(3)(1,-1,1)$
e quindi $rotF * n = -1/sqrt(3)$
La superficie $S$ è il grafico della funzione $f:K->R^3$ , $f(x,y)=y-x$ , dove $K$ è un cerchio massimo nella sfera unitaria.
Si ha che $S=\sigma(K)$, dove $\sigma(x,y)=(x,y,f(x.y))=(x,y,y-x)$
Ottengo:
$\int_{S} rotF * n dS = \int\int_{K} -1/sqrt(3)*sqrt(3) dxdy = -\pi$
con $dS=sqrt(1+(f'_{x})^2+(f'_{y})^2)=sqrt(3)$
Come vedete i due risultati non coincidono. Dove sbaglio? Non devo normalizzare il vettore normale?
Grazie mille
Risposte
"sandro1":
2) II metodo: Sempre grazie al teorema del rotore, calcolo direttamente il flusso uscente dal disco contenuto nel piano $z=y-x$.
$rotF=$$det((i,j,k),(dx,dy,dz),(x+y,y,z))$ $=(0,0,-1)$.
Arrivano le note dolenti:
Devo trovare il versore normale ed uscente alla superficie. Essendo contenuta nel piano $z=y-x$ il versore normale sarà :
$n=1/sqrt(3)(1,-1,1)$
e quindi $rotF * n = -1/sqrt(3)$
La superficie $S$ è il grafico della funzione $f:K->R^3$ , $f(x,y)=y-x$ , dove $K$ è un cerchio massimo nella sfera unitaria.
Si ha che $S=\sigma(K)$, dove $\sigma(x,y)=(x,y,f(x.y))=(x,y,y-x)$
Ottengo:
$\int_{S} rotF * n dS = \int\int_{K} -1/sqrt(3)*sqrt(3) dxdy = -\pi$
con $dS=sqrt(1+(f'_{x})^2+(f'_{y})^2)=sqrt(3)$
Come vedete i due risultati non coincidono. Dove sbaglio? Non devo normalizzare il vettore normale?
Grazie mille
Mi sono accorto che c'è almeno un errore in quanto ho scritto.
Grazie al teorema del rotore, mi calcolo il flusso uscente dal disco contenuto nel piano di equazione $z=y-x$ e delimitato dalla circonferenza $C: 2x^2+2y^2-2xy=1$
Ed ottengo
$\int_{S} rotF * n dS = \int\int_{C} -1/sqrt(3)*sqrt(3) dxdy = -\pi$
In particolare il mio dubbio è:
se da definizione ho
$\int_{S} rotF * n dS = \int\int_{S} rotF*n/||n|| *||n|| dxdy $
perché in questo preciso esercizio non devo moltiplicare per $||n||$ ?
Grazie
up
"sandro1":
up
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