Flusso del rotore, parametrizzazione di un paraboloide sezionato

[simoneb11]

Salve a tutti. Scrivo di nuovo per un problema che sto avendo con un esercizio sul Teorema di Stokes. L'esercizio recita:
Utilizzar il teorema di Stokes per calcolare la circuitazione del campo $F(x,y,z)=(y,z,x+y)$ lungo la superficie definita come $S{(x,y,z)R^3: z=x^2+y^2,z<=x}$
In questo caso il docente vuole che usiamo il teorema "al contrario" ossia che calcoliamo il flusso del rotore.

Mi pare di capire che la figura sia un paraboloide con il vertice verso il basso sezionato da un piano perpendicolare alla bisettrice del piano xz, giusto? Beh a questo punto mi perdo nello svolgimento dell'esercizio perché non capisco come impostare gli estremi dell'integrale doppio, ho già calcolato il rotore che risulta essere $rotF=(0,-1,-1)$ e il versore n che (se non ho intuito male) era entrante e quindi andava cambiato di segno e risulta essere:
$n=2x/sqrt(4x^2+4y^2+1),2y/sqrt(4x^2+4y^2+1),-1/sqrt(4x^2+4y^2+1)$ e il differenziale che è il denominatore delle componenti di n.

E da qui mi perdo, come proseguo?
Scusate il disturbo.

[simoneb11]

"TeM":Dunque, dato un campo vettoriale \(\mathbf{F} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) definito da\[ \mathbf{F}(x,\,y,\,z) := \left( y, \; z, \; x + y \right) \] e una superficie \(\Sigma\) definita da \[ \Sigma := \left\{ (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : z = x^2 + y^2, \; z \le x \right\} \] parametrizzabile in maniera naturale come \[ (x,\,y,\,z) := \mathbf{r}(\rho,\,\theta) = \left(\rho\,\cos\theta, \; \rho\,\sin\theta, \; \rho^2\right)\,, \; \; \; \text{per} \; (\rho,\,\theta) \in A := [0,\,\cos\theta] \times \left[-\frac{\pi}{2}, \; \frac{\pi}{2}\right] \,, \] per il teorema del rotore, la circuitazione di \(\mathbf{F}\) lungo il bordo \(\Gamma\) di \(\Sigma\) è pari a \[ ℒ_{\Gamma}(\mathbf{F}) = \iint\limits_{\Sigma} \left(\nabla \land \mathbf{F}\right) \cdot \mathbf{n}_{\Sigma}\,\text{d}\sigma = \iint\limits_A \left(\nabla \land \mathbf{F}\right)(\mathbf{r}(\rho,\,\theta)) \cdot \left( \mathbf{r}_{\rho}(\rho,\,\theta) \land \mathbf{r}_{\theta}(\rho,\,\theta) \right) \text{d}\rho\,\text{d}\theta = \dots \] A te i conti.

Questo è ciò che in teoria volevo fare anche io, però non mi torna la logica. Io sto integrando per rho che va da zero a coseno di theta, mentre theta va da $-\pi/2$ a $\pi/2$...perché? Come faccio a dire che il modo in cui il piano seziona il paraboloide fa si che gli estremi siano proprio quelli?

[simoneb11]

"TeM":[quote="simoneb"]Come faccio a dire che il modo in cui il piano seziona il paraboloide fa si che gli estremi siano proprio quelli?

In base alla parametrizzazione adottata, ove sappiamo che \(\rho \in \mathbb{R}^+\) e \(\theta \in [0,\,2\pi)\), dato che deve essere \(z \le x\) allora \(\rho^2 \le \rho\,\cos\theta\) da cui \(0 \le \rho \le \cos\theta\). Non è tutto: perché quest'ultima restrizione sia consistente deve anche essere \(0 \le \cos\theta\) da cui segue \(-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}\). Fine. [/quote]

Grazie mille! Un'ultima cosa anche se non c'entra col problema in oggetto: volevo postare anche un problema che ho circa un problema sulle forme di GG, ma non ho capito se c'è un limite ai post che posso mettere, sai illuminarmi?

[simoneb11]

Chiaro, grazie