Flusso del rotore con teorema di stokes

[matteo1310]

Buonasera a tutti, spero che mi possiate aiutare con questo esercizio, probabilmente non ho molto chiaro il concetto di bordo di una superficie..
Il testo è il seguente:

Sia $ Omega = {(x, y, z)in R^3 : x^2+y^2-z^2 <1 , |z|<2sqrt(2) } $

E sia $ Sigma = {(x, y, z)in R^3 : z> 0 } nn dOmega} $

Sia $ F (x, y , z)=(z/(2+sin (e^z)), (z^2-8)*x , (sin (e^(x*y))/(e^z+1)) $

Calcolare il flusso del rotore di F su sigma.

Avevo svolto questo esercizio utilizzando il teorema di stokes. Rappresentando sigma si vede che é una sorta di paraboloide con "2 tappi" dove credo che la base in corrispondenza di z=0 non sia compresa. Per il calcolo del flusso del rotore ho parametrizzato il bordo della circonferenza in corrispondenza di $ Z=2sqrt(2) $ .
Vedendo la soluzione dell'esercizio il professore ha calcolato il flusso calcolando la circuitazione in corrispondenza di $ z=0$.
Qualcuno può spiegarmi il perché? Grazie in anticipo.

[Studente Anonimo]

"matteo1310":
... si vede che é una sorta di paraboloide ...

Veramente:

$x^2+y^2-z^2-1=0$

è un iperboloide a una falda:

che interseca il piano xy lungo la circonferenza centrata nell'origine e di raggio unitario:

$[z=0] ^^ [x^2+y^2-z^2-1=0] rarr [x^2+y^2=1]$