Flusso del rotore
Buongiorno,
L'esercizio che mi crea problemi è il seguente:
Calcolare il flusso del rotore del campo F : R3 --> R3 definito da
$ F(x, y, z) = (6y(x - z), e^{3y}, 4y(z - x)) $
attraverso la superficie $ D = { (x, y, z) in R^3 | x^2 + y^2 = 4z, z <= x+2 } $, orientata in modo che il versore normale formi un angolo ottuso con l'asse z.
Secondo il mio ragionamento bisogna utilizzare il teorema di Stokes in modo da trovare il flusso del rotore che equivale all'integrale di linea lungo il bordo di D. Quindi devo prima trovare il bordo di D che sarà l'insieme D ma con un uguale al posto della disuguaglianza e poi fare una parametrizzazione di questo nuovo insieme. Il mio problema è proprio riuscire a fare una parametrizzazione del bordo di D adeguata per riuscire a risolvere l'integrale. Potreste spiegarmi questo passaggio? Perché una volta che ho la parametrizzazione dovrei riuscire a risolverlo.
PS: Io ho provato sostituendo alle variabili x e y due parametri u e v ma oltre che non sono sicura di come mi debba venire z nel senso che mi viene
$ z = ( u^2 +v^2 )/4 $ ma anche $ z = u + 2 $
avendo posto $ x=u , y=v $
Grazie dell'aiuto,
Pandomar
L'esercizio che mi crea problemi è il seguente:
Calcolare il flusso del rotore del campo F : R3 --> R3 definito da
$ F(x, y, z) = (6y(x - z), e^{3y}, 4y(z - x)) $
attraverso la superficie $ D = { (x, y, z) in R^3 | x^2 + y^2 = 4z, z <= x+2 } $, orientata in modo che il versore normale formi un angolo ottuso con l'asse z.
Secondo il mio ragionamento bisogna utilizzare il teorema di Stokes in modo da trovare il flusso del rotore che equivale all'integrale di linea lungo il bordo di D. Quindi devo prima trovare il bordo di D che sarà l'insieme D ma con un uguale al posto della disuguaglianza e poi fare una parametrizzazione di questo nuovo insieme. Il mio problema è proprio riuscire a fare una parametrizzazione del bordo di D adeguata per riuscire a risolvere l'integrale. Potreste spiegarmi questo passaggio? Perché una volta che ho la parametrizzazione dovrei riuscire a risolverlo.
PS: Io ho provato sostituendo alle variabili x e y due parametri u e v ma oltre che non sono sicura di come mi debba venire z nel senso che mi viene
$ z = ( u^2 +v^2 )/4 $ ma anche $ z = u + 2 $
avendo posto $ x=u , y=v $
Grazie dell'aiuto,
Pandomar
Risposte
Il bordo è l'intersezione delle due superfici. Dunque metti a sistema le due equazioni e fai sparire ad esempio la \(z\). Ottieni allora la proiezione sul piano \(z=0\) di tutti i punti del bordo. Quale \(z\) prendere ora, sapendo che abbiamo parlato di intersezione?
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