Flusso del rotore
Buonasera vi propongo un esercizio che mi è capitato all'esame, non mi torna il risultato:
Sia $ Sigma = {x,y,z in R^3 | x^2 + y^2 + z^2 = 4 , y >=0} $ orientata in modo che il versore normale formi un angolo acuto con y, calcolare il flusso del rotore del campo:
$ F(x,y,z) = (xz +2z, x^2 e^-y ,z^2) $
L'ho risolto come segue:
Innanzitutto noto che $ Sigma $ è una semisfera di raggio 2 , noto anche che nel campo compare un esponenziale quindi provo direttamente a calcolare la circuitazione del campo attorno al bordo della superficie
Uso la relazione $ int_(sigma) rotF dsigma = ointFdP $
Parametrizzo con $ gamma (t) = (2cost,0,2sint) $
Calcolo la derivata $ gamma' (t) = (-2sint,0,2cost) $
Sostituisco $ gamma $ in F
$ F(gamma(t)) = (4costsint + 4sint, 4cos^2t , 4 sin^2t) $
moltiplico scalarmente con $ gamma' $
$ F(gamma(t))gamma'(t) = -8 sin^2t $
Ora integro da 0 a 2pi
$ int_(0)^(2pi ) -8sin^2t dt = ... = -8pi $
come risultato dovrebbe venire questo ma con segno positivo...
Io però ho ragionato considerando la semisfera, con l'asse y verso l'alto, allora ho percorso la semisfera in senso antiorario in modo da avere la superficie alla mia sinistra, cosa sbaglio nel mio ragionamento? per ottenere il risultato giusto dovrei integrare da 2pi a zero, però non capisco come impostare il ragionamento per percorrere il senso giusto.
Sia $ Sigma = {x,y,z in R^3 | x^2 + y^2 + z^2 = 4 , y >=0} $ orientata in modo che il versore normale formi un angolo acuto con y, calcolare il flusso del rotore del campo:
$ F(x,y,z) = (xz +2z, x^2 e^-y ,z^2) $
L'ho risolto come segue:
Innanzitutto noto che $ Sigma $ è una semisfera di raggio 2 , noto anche che nel campo compare un esponenziale quindi provo direttamente a calcolare la circuitazione del campo attorno al bordo della superficie
Uso la relazione $ int_(sigma) rotF dsigma = ointFdP $
Parametrizzo con $ gamma (t) = (2cost,0,2sint) $
Calcolo la derivata $ gamma' (t) = (-2sint,0,2cost) $
Sostituisco $ gamma $ in F
$ F(gamma(t)) = (4costsint + 4sint, 4cos^2t , 4 sin^2t) $
moltiplico scalarmente con $ gamma' $
$ F(gamma(t))gamma'(t) = -8 sin^2t $
Ora integro da 0 a 2pi
$ int_(0)^(2pi ) -8sin^2t dt = ... = -8pi $
come risultato dovrebbe venire questo ma con segno positivo...
Io però ho ragionato considerando la semisfera, con l'asse y verso l'alto, allora ho percorso la semisfera in senso antiorario in modo da avere la superficie alla mia sinistra, cosa sbaglio nel mio ragionamento? per ottenere il risultato giusto dovrei integrare da 2pi a zero, però non capisco come impostare il ragionamento per percorrere il senso giusto.
Risposte
se disegni la terna levogira "mettendo l'asse delle y al posto di solito occupato dall'asse z" puoi osservare che con la tua parametrizzazione il bordo della semisfera viene percorso in senso orario(perchè "l'asse x occupa il posto dell'asse y e l'asse z occupa il posto dell'asse x") e quindi il risultato che hai ottenuto ti dà l'opposto del flusso
ho capito, grazie mille! 
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