Flusso del campo vettoriale
ciao a tutti.... nel calcolo del flusso del campo vettoriale attraverso una superficie, io opero in questo modo :
-trovo una parametrizzazione della superficie
- mi calcolo il versore normale alla superficie (mediante le derivate parziali)
- e mi calcolo il flusso attraverso la superficie sfruttando la formula $\int_S v * n dsigma$;
Ora vi chiedo: molte volte mi viene chiesto di calcolare il flusso in maniera tale che il versore normale abbia una componente con segno ben preciso ovvero la prima per esempio deve essere maggiore di zero oppure la seconda o la terza minore di zero o l'inverso.... ; dal punto di vista pratico come faccio a vedere se il versore che io ottengo mediante le derivate parziali abbia la componente concorde con quella proposta dall' esercizio?! in quanto io ottengo le componenti del vettore normale in funzione della parametrizzazione ( in $\vartheta$ e $\rho$ se siamo in coordinate polari per esempio ) !!...Poi ovviamente se è discorde devo mettere un meno davanti all' integrale.
Un' altra domanda quando vado ad effettuare l'integrale superficiale mi viene $\int int_P X(p(u,v))*n_1+ Y(p(u,v))*n_2+ Z(p(u,v))*n_3 $ dove $X, Y, Z$ sono le componenti del campo vettoriale e $n_1,n_2,n_3$ le componenti del versore e $P$ e la proiezione della superficie sul piano $XY$ e $p(u,v)$ una parametrizzazione dI $P$ ora nell' integrale non dovrei moltiplicare anche per la norma $|| p_uXp_v||$ ?
-trovo una parametrizzazione della superficie
- mi calcolo il versore normale alla superficie (mediante le derivate parziali)
- e mi calcolo il flusso attraverso la superficie sfruttando la formula $\int_S v * n dsigma$;
Ora vi chiedo: molte volte mi viene chiesto di calcolare il flusso in maniera tale che il versore normale abbia una componente con segno ben preciso ovvero la prima per esempio deve essere maggiore di zero oppure la seconda o la terza minore di zero o l'inverso.... ; dal punto di vista pratico come faccio a vedere se il versore che io ottengo mediante le derivate parziali abbia la componente concorde con quella proposta dall' esercizio?! in quanto io ottengo le componenti del vettore normale in funzione della parametrizzazione ( in $\vartheta$ e $\rho$ se siamo in coordinate polari per esempio ) !!...Poi ovviamente se è discorde devo mettere un meno davanti all' integrale.
Un' altra domanda quando vado ad effettuare l'integrale superficiale mi viene $\int int_P X(p(u,v))*n_1+ Y(p(u,v))*n_2+ Z(p(u,v))*n_3 $ dove $X, Y, Z$ sono le componenti del campo vettoriale e $n_1,n_2,n_3$ le componenti del versore e $P$ e la proiezione della superficie sul piano $XY$ e $p(u,v)$ una parametrizzazione dI $P$ ora nell' integrale non dovrei moltiplicare anche per la norma $|| p_uXp_v||$ ?
Risposte
per trovare il versore normale è più conveniente usare il prodotto vettoriale delle derivate della (parametrizzazione della) superficie, perchè non sempre hai una forma cartesiana della superficie.
non capisco la seconda domanda, perchè mi pare che ti sei anche già dato al risposta.. se vuoi avere la certezza di avere lo stesso versore indicato dall'esercizio puoi semplicemente andartelo a calcolare in un punto, così da "vederlo".. però dovrebbe essere chiaro lo stesso.
per la terza domanda mi pare che fai confusione: u e v sono i punti che stanno nella proiezione della superficie, ma p(u,v) è un punto della superficie (e infatti tu calcoli il flusso attraverso la superficie, ovvero nei punti appartenenti alla superficie stessa). credo comunque che il dubbio sia inerente alla definizione di flusso: sopra hai scritto giustamente $Phi(x) = int_S d sigma$ (con x punto dello spazio). non devi dimenticare il $d sigma$
non capisco la seconda domanda, perchè mi pare che ti sei anche già dato al risposta.. se vuoi avere la certezza di avere lo stesso versore indicato dall'esercizio puoi semplicemente andartelo a calcolare in un punto, così da "vederlo".. però dovrebbe essere chiaro lo stesso.
per la terza domanda mi pare che fai confusione: u e v sono i punti che stanno nella proiezione della superficie, ma p(u,v) è un punto della superficie (e infatti tu calcoli il flusso attraverso la superficie, ovvero nei punti appartenenti alla superficie stessa). credo comunque che il dubbio sia inerente alla definizione di flusso: sopra hai scritto giustamente $Phi(x) = int_S
Riguardo alla terza risposta io intendo $p(u,v)$ come parametrizzazione del dominio di $X Y$in cui si proietta la superficie !!!
per la terza domanda: certo "dovresti" moltiplicare per quella norma, che però si semplificherebbe con la norma che sta al denominatore del versone normale. (perchè $n_e$ è un vettore normalizzato) 
"tech":
Riguardo alla terza risposta io intendo $p(u,v)$ come parametrizzazione del dominio di $X Y$in cui si proietta la superficie !!!
c'è un'ambiguità di fondo, vediamo di chiarire: se le variabili di integrazione sono u e v, allora p(u,v) va interpretata come la parametrizzazione della superficie. tu non devi "parametrizzare" il dominio di integrazione, non avrebbe senso perchè l'hai già fatto quando hai "definito" il dominio di integrazione nelle coordinate u e v. fai attenzione perchè la tua interpretazione è sbagliata.
ah ... ecco allora io devo fare $\int_S X(p(u,v))*n_1+Y_(p(u,v))*n_2+Z(p(u,v))*n_3 du dv$ con $p(u,v)$ come parametrizzazione della superficie; Ora mi sorge un'altro dubbio qualora la parametrizzazione del dominio di base fosse in coordinate polari vado a fare l'integrale doppio :$ \int int_X X(p(u,v))*n_1+Y_(p(u,v))*n_2+Z(p(u,v))*n_3 du dv$ con $u=rho cos vartheta$ e $v=rho sen vartheta$ quando vado a fare la sostituzione nell' integrale doppio devo moltiplicare anche per lo jacobiano della trasformazione (quella in coordinate polari)(ovvero per $rho$)?
ma il vettore n è un versore? in questo caso devi moltiplicare per la norma che dicevi prima.
faccio fatica a seguirti: dominio di base cosa significa? dominio di integrazione dell'integrale di superficie (deduco sia così..)?
a parte che sarebbe insolito.. se ci pensi bene, volendo integrare in u e v (a patto che sia solo il dominio ad essere espresso in c. polari), dovresti trovarti un dominio nelle coordinate u e v, il che si potrebbe fare senza problemi perchè conosci la sostituzione da fare. a questo punto hai il dominio di integrazione espresso in u e v, quindi ragioni come al solito per gli integrali doppi: se le coordinate polari tornano comode, quando sostituisci devi ricordarti anche di moltiplicare per $rho$
faccio fatica a seguirti: dominio di base cosa significa? dominio di integrazione dell'integrale di superficie (deduco sia così..)?
a parte che sarebbe insolito.. se ci pensi bene, volendo integrare in u e v (a patto che sia solo il dominio ad essere espresso in c. polari), dovresti trovarti un dominio nelle coordinate u e v, il che si potrebbe fare senza problemi perchè conosci la sostituzione da fare. a questo punto hai il dominio di integrazione espresso in u e v, quindi ragioni come al solito per gli integrali doppi: se le coordinate polari tornano comode, quando sostituisci devi ricordarti anche di moltiplicare per $rho$
@tech:
mi riferisco al tuo ultmimo post...
quando vai a sotituire le coordinate polari (nel caso in cui tu abbia un integrale doppio) devi considerare anche lo jacobiano ....
mi riferisco al tuo ultmimo post...
quando vai a sotituire le coordinate polari (nel caso in cui tu abbia un integrale doppio) devi considerare anche lo jacobiano ....
e nel caso io abbia una superficie ottenuta dalla rotazione di una curva intono ad uno degli assi ed uso come parametrizzazione della superficie quella in coordinate cilindriche, quando vado a fare l'integrale doppio esteso al dominio ottenuto proiettando (per esempio) la superficie sul piano $XY$ devo moltiplicare sempre per lo jacobiano della trasformazione ??
no... se tu usi le cooridnate polari, quando vai a fare l'integrale doppio devi molitplicare per lo jacobiano... se invece non le usi ma risolvi l'integrale doppio che ti rimane con le coordinate che già hai (non so ... tipo le coordinate $u$ e $v$ per farti un esempio), senza effettuare alcun cambio di variabile, non devi moltiplicare per lo jacobiano..
casomai posta qualche esercizio e proviamo a farlo..
casomai posta qualche esercizio e proviamo a farlo..
ok... se invece mi viene chiesto di calcolare il flusso uscente (per esempio) del campo vettoriale attraverso una qualsiasi superficie come devo agire con il versore che mi trovo con le derivate parziali? Devo vedere se esso in un generico punto della superficie e uscente o entrane dalla superficie stessa?
si...devi scegliere un punto "opportuno" (non proprio uno qualsiasi) della superficie e valutare lì il versore come si presenta...
ok grazie per tutte le risposte..
di niente...
se hai difficoltà su alcuni esercii postali e vediamo come fare..
se hai difficoltà su alcuni esercii postali e vediamo come fare..
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