Flusso del campo vettoriale

[pinguser]

Buona sera,
Vorrei proporvi un esercizio sul flusso il testo dice :
Sia $S$ la superficie cilindrica di equazione $x^2+y^2=2$ compresa fra i piani $z=0$ e $z=2-x$. Calcolare il flusso del campo vettoriale $F(x,y,z)=(0,yz, -y)$ attraverso $S$ nella direzione del campo normale.

SVOLGIMENTO
Vista la simmetria cilindrica avevo pensato di passare a coordinate cilindriche ottenendo quindi:

$\{(x=\rho cos\theta),(y=\rho sen\theta),(z=2-\rho cos\theta):}$con $0<=\rho<=sqrt(2)$ e $0<=\theta<=2\pi$

Quindi mi trovo i determinanti di ordine minore della seguente matrice
$((cos\theta, -\rho sen\theta),(sen\theta, \rho cos\theta),(-cos\theta, rho sen\theta))$ che sono: $\{(A=\rho sen^2\theta+\rho cos^2\theta=\rho),(B=\rho cos\theta sen\theta - \rho cos\theta sen\theta=0), (C=\rho cos^2\theta+\rho sen^2\theta=\rho):}$

Ora per trovare il flusso risolvo il seguente integrale
$\int \int F_1(\rho, \theta)A+F_2(\rho, \theta)B+F_3(\rho, \theta)C d\rho d\theta $
Osservando che $F_1$ e $B$ sono nulli il precedente integrale si riduce al seguente:
$\int\int F_3(\rho, \theta)C d\rho d\theta $
e quindi:
$-\int_0^sqrt(2) \int_0^(2\pi) \rho^2 sen\theta d\rho d\theta = \int_0^sqrt(2) \rho^2 [cos\theta]_0^(2\pi) = 0$
Ora una domanda.... E' giusto o ho scritto solo corbellerie?
Grazie mille per l'attenzione

[walter891]

la superficie è chiusa e il campo è solenoidale, quindi il risultato mi sembra coerente

[Scotti1]

Ciao,

provate a guardare bene ma il campo NON è soleinoidale infatti:

$ grad *F(x,y,z)=z $

quindi se la superficie è CHIUSA si può applicare il Teo della divergenza ossia:

$ oint_(S)F(x,y,z)*vec(n)dS = int int int_(V)^()grad *F(x,y,z) dx dy dz $

Bye

[pinguser]

Grazie mille per la risposta walter89 , Scotti ma se applico il teorema della divergenza i calcoli non diventano più lunghi?

[Scotti1]

Puoi applicare il teo della divergenza se la superficie è chiusa.
Dal testo non si capisce se lo è o meno.

Bye