Flusso del campo
Salve a tutti, svolgendo vari esami dati in preparazione di Analisi II mi sono imbattuto nell'esercizio del calcolo del flusso del campo: $ F=(x^3zveci ,x^2y^2 vec j ,log(x^2+y^2+z^2)vec k ) $ entrante nella superficie chiusa $ S= { ( z>=x^2+y^2 ),( 4x^2+4y^2+z^2<=4 )} $
Applicando il teorema della divergenza posso ottenere dunque:
$ int int int_(S) 3x^2z+2yx^2+(2z)/(x^2+y^2+z^2)dxdydz $ e se normalizzo la superficie rispetto alla $ z $ ottengo
$ x^2+y^2<=z<=sqrt(4-4x^2-4y^2) $
quindi posso svolgere l'integrale
$ int int 2yx^2dxdy int_(x^2+y^2)^(sqrt(4-4x^2-4y^2)) 3x^2z+(2z)/(x^2+y^2+z^2)dz $
Il mio problema è che ora non so come andare avanti visto che le coordinate sferiche mi complicherebbero tantissimo la vita? Dov'è che sbaglio? Oppure non so operare la giusta sostituzione nelle coordinate?
Grazie
Applicando il teorema della divergenza posso ottenere dunque:
$ int int int_(S) 3x^2z+2yx^2+(2z)/(x^2+y^2+z^2)dxdydz $ e se normalizzo la superficie rispetto alla $ z $ ottengo
$ x^2+y^2<=z<=sqrt(4-4x^2-4y^2) $
quindi posso svolgere l'integrale
$ int int 2yx^2dxdy int_(x^2+y^2)^(sqrt(4-4x^2-4y^2)) 3x^2z+(2z)/(x^2+y^2+z^2)dz $
Il mio problema è che ora non so come andare avanti visto che le coordinate sferiche mi complicherebbero tantissimo la vita? Dov'è che sbaglio? Oppure non so operare la giusta sostituzione nelle coordinate?
Grazie
Risposte
Oddio si che erroraccio quello sotto al segno di integrale l'ho spostato cosi senza motivo xD cmq riprovo a fare i conti con 3 integrali tripli e riscriverò i risultati 
Problema che mi sorge spontaneo adesso per la risoluzione dei 3 integrali...ognuno ha lo stesso dominio di definizione giusto? E poi per z per esempio ho normalizzato quindi so gli estremi di integrazione in dz, ma per x e y c'è un metodo corretto per normalizzarli? Grazie delle risposte
Problema che mi sorge spontaneo adesso per la risoluzione dei 3 integrali...ognuno ha lo stesso dominio di definizione giusto? E poi per z per esempio ho normalizzato quindi so gli estremi di integrazione in dz, ma per x e y c'è un metodo corretto per normalizzarli? Grazie delle risposte
ok ho provato a svolgere i tre integrali: $ int int int 3x^2zdx dy dz + int int int 2yx^2dx dy dz + int int int\(2z)/(x^2+y^2+z^2)dx dy dz $
Svolgendo il primo trovo $ int int 3x^2dydx int_(x^2+y^2)^(2sqrt(1-x^2-y^2))zdz $ continuando:
$ int int 6x^2(1-x^2-y^2)-(3x^2(x^2+y^2))/2 dxdy $ in coordinate polari con i relativi estremi (cosa di cui nn sono molto sicuro)
$ int_(0)^(2pi) dθ 6p^3cos^2θ(1+p^2)dp-int_(0)^(2pi) dθ int_(0)^(1) (3p^2cos^2θp^3)/2dp $
$ 6int_(0)^(2pi) cos^2θ dθ int_(0)^(1)p^3dp+ int_(0)^(1)p^2dp -3/2 int_(0)^(2pi) cos^2θ dθ int_(0)^(1) p^5dp $
Il tutto dovrebbe venire $ 7pi/2 -pi/4= 13/4pi $
Per il secondo integrale la soluzione è 0 in quanto
$ int int int 2yx^2dx dy dz = int int 2yx^2(2sqrt(1-x^2-y^2)-x^2-y^2)dxdy $ in coordinate polari diventa
$ int_(0)^(2pi) dθ int_(0)^(1)2p^2sin(θ) cos^2θ (2sqrt(1-p^2)-p^2)dp= 2int_(0)^(2pi) sin(θ)cos^2θ dθ $ che fa proprio 0 tralasciando il secondo intregrale.
Mentre per il terzo ottengo usando le coordinate polari a 3 variabili:
$ int int int\(2z)/(x^2+y^2+z^2)dx dy dz= int_(0)^(2pi) dθ int_(0)^(pi)dφ int_(0)^(1) (2p^3sin(φ))/(p^2)dp =$
$2pi int_(0)^(pi)sin(φ)int_(0)^(1)2p$ e quindi infine
$2pi *2 *2 * (1/2)= 4pi$
E il risultato finale dell'integrale triplo dovrebbe essere $13/4 pi +4pi=29/4pi$
Il procedimento o comunque i conti sono esatti? Purtroppo non dispongo della soluzione perchè era un esercizio d'esame, spero siano cmq tutti corretti
Svolgendo il primo trovo $ int int 3x^2dydx int_(x^2+y^2)^(2sqrt(1-x^2-y^2))zdz $ continuando:
$ int int 6x^2(1-x^2-y^2)-(3x^2(x^2+y^2))/2 dxdy $ in coordinate polari con i relativi estremi (cosa di cui nn sono molto sicuro)
$ int_(0)^(2pi) dθ 6p^3cos^2θ(1+p^2)dp-int_(0)^(2pi) dθ int_(0)^(1) (3p^2cos^2θp^3)/2dp $
$ 6int_(0)^(2pi) cos^2θ dθ int_(0)^(1)p^3dp+ int_(0)^(1)p^2dp -3/2 int_(0)^(2pi) cos^2θ dθ int_(0)^(1) p^5dp $
Il tutto dovrebbe venire $ 7pi/2 -pi/4= 13/4pi $
Per il secondo integrale la soluzione è 0 in quanto
$ int int int 2yx^2dx dy dz = int int 2yx^2(2sqrt(1-x^2-y^2)-x^2-y^2)dxdy $ in coordinate polari diventa
$ int_(0)^(2pi) dθ int_(0)^(1)2p^2sin(θ) cos^2θ (2sqrt(1-p^2)-p^2)dp= 2int_(0)^(2pi) sin(θ)cos^2θ dθ $ che fa proprio 0 tralasciando il secondo intregrale.
Mentre per il terzo ottengo usando le coordinate polari a 3 variabili:
$ int int int\(2z)/(x^2+y^2+z^2)dx dy dz= int_(0)^(2pi) dθ int_(0)^(pi)dφ int_(0)^(1) (2p^3sin(φ))/(p^2)dp =$
$2pi int_(0)^(pi)sin(φ)int_(0)^(1)2p$ e quindi infine
$2pi *2 *2 * (1/2)= 4pi$
E il risultato finale dell'integrale triplo dovrebbe essere $13/4 pi +4pi=29/4pi$
Il procedimento o comunque i conti sono esatti? Purtroppo non dispongo della soluzione perchè era un esercizio d'esame, spero siano cmq tutti corretti
Grazie mille ho riveduto e corretto gli errori e ricontrollato il tutto ora però mi sorge un dubbio ancora sulla risoluzione dell'ultimo integrale 
La primitiva di $ 2z/(z^2+p^2) $ negli estremi è
$ log(4-3p^2)/log(p^2+p^4) $ come hai proseguito da qui?
ora però mi sorge un dubbio ancora sulla risoluzione dell'ultimo integrale La primitiva di $ 2z/(z^2+p^2) $ negli estremi è
$ log(4-3p^2)/log(p^2+p^4) $ come hai proseguito da qui?
cavolo però non dovrebbe essere facilissimo da integrare per parti!
Clarissimo! adesso si, anche se cmq per un esercizio solo rimango dell'idea che tutti questi conti siano davvero troppi
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