Flusso campo vettoriale

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Testo esercizio:
Calcolare $ \int_S zydσ $ dove S e’ la superficie il cui bordo e’ il cilindro $x^2 + y^2 = 1 $
e le cui basi inferiore S2 e superiore S3 sono rispettivamente il disco $x^2 + y^2 ≤ 1 $ nel piano z = 0 e la parte di piano z = 1 + x che si proietta su S2.

Innanzitutto ho cercato una parametrizzazione della superficie cilindrica:
$ x = \rho cos \theta $
$ y = \rho sin \theta $
$ z = z $
con z oscillante tra 0 e la curva 1+x

Ho calcolato $ |\varphi_u x \varphi_v | $ ottendendo come risultato 1.

Ho poi svolto l'integrale doppio $ \int \int z y dσ $, sono passato alle cordinate polari scrivendo
$ \int _\theta \int _\ rho (\rho sin\theta (1 + \rho cos\theta ) d\rho d\theta) $

con il primo integrale $\theta $ oscillante tra $ 0 - 2\pi $ e $ \rho da 0 - 1 $

Non sono sicuro di quest ultimo passaggio, cosa mi consigliate di fare? come procedo?
Grazie!

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Quello che hai scritto è indubbiamente un integrale di superficie, quindi S deve essere una superficie.
In effetti esordisci bene scrivendo che S è una superficie, appunto. Ma poi scrivi che tale superficie ha
come bordo un cilindro ... ... che essendo esso stesso una superficie ... non si sta parlando di un
solido! Poi il proseguo di ciò che scrivi è come se effettivamente S fosse un solido il cui bordo consiste
in una superficie "laterale" cilindrica e in due superfici piane come "basi". Capisci ben che c'è qualcosa
che non quadra?!

Ciao e innanzitutto grazie mille per la risposta,
mi scuso per gli errori di interpretazione e di scrittura, era ovviamente quello che tu hai inteso
Detto ciò avrei qualche domanda relativa all'esercizio..
Innanzitutto quando si pensa ad un integrale superficiale è errata l'idea di estenderlo alla superficie di base della superficie in questione? ( per esempio avendo nel caso in questione un cilindro, avevo pensato di calcolare l'integrale doppio in $\rho $ e $\theta$ ( estendo alla circonferenza di base ) ,e non in $\rho $ e $z$ , la mia domanda è perchè non lo abbiamo fatto? )

altra domanda è riguardo la presenza dello Jacobiano all'interno dell' integrale. Abbiamo parametrizzato la curva tramite coordinate cilindriche, perchè non abbiamo inserito lo Jacobiano?

Ancora :

Risultato prevedibile? Potevamo risparmiarci tutti i conti? Sì.

Come abbiamo fatto ad accorgercene? Quali sono i teoremi che ci permettono di dire ciò? Quali sono i vari altri casi con i quali si può concludere dall'inizio evitando conti laboriosi?
Grazie !

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Ciao e grazie per i chiarimenti, ora credo vada molto meglio! Avrei solo un'ultima cosa da chiarire:
Quali sono le condizioni quando si puo utilizzare la divergenza nel calcolo del flusso? Molto spesso mi capita di imbattermi in esercizi dove credo si possa utilizzare, tuttavia non sono mai sicurissimo, quali sono le limitazioni che mi impediscono di usarla?
Mi spiego meglio: un cilindro tagliato da due paini $ x = 0 e x = 1$, ne prevedono l utilizzo? Quando per esempio non posso?
Grazie☺

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"TeM":

In particolare, ricordando che il teorema della divergenza recita così:

Sia \( \Omega \) un dominio chiuso e limitato di \( \mathbb{R}^3 \), il cui bordo \( \partial\Omega \) è una superficie regolare parametrizzata (o l'unione di più superfici di questo tipo), orientata con la normale uscente \( \mathbf{n} \). Sia inoltre \( \mathbf{F}: \) \( \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) un campo vettoriale regolare: \( \mathbf{F}\in C^1(\Omega) \). Allora \[ \iint\limits_{\partial\Omega} \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,\text{d}\sigma = \iiint\limits_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \,\text{d}\omega \; . \]

Tutto molto chiaro grazie Tem!,
solo per una questione di sicurezza oggi mi sono imbattuto in questo flusso :
Calcolare il flusso del campo vettoriale :
F= (x,y,z) $ = z^2 hat {i} - y hat {j} + hatk $
attraverso la superficie ottenuta dalla rotazione intorno all'asse z dell'arco di parabola nel piano $yz$ di equazione $ y= z^2 +1$
con $ z \in [1,2]$ orientata in modo che la terza componente del versore normale sia positiva.

Inizialmente ero restio ad applicare il teorema della divergenza per via del fatto che la terza componente dovesse essere positiva, la divergenza ingloba anche questa condizione e quindi sarebbe applicabile ?dato che ci troviamo in un dominio chiuso e limitato di $R^3$ ? ( nel caso fosse applicabile, mi ritroverei - $ \int \int \int dx dy dz $, dovrei applicare il teorema di Guldino per il calcolo del volume? giusto? )

Comunque ho deciso di procedere con la definizione di flusso "classica" cercando una parametrizzazione per la curva:
$x=x , z= z, y= z^2 +1 $
Ho calcolato le componenti dei versori ottenendo : A= 0 , B= 1 , C = 2z .
Ho di seguito svolto attendendo:
$ \ int_S F \nu d\sigma $ = $ \int \int _D -y + 2z $
a questo punto avevo pensato di passare a altre coordinate in particolare, tuttavia senza successo.. potresti darmi qualche dritta?
Grazie mille

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La soluzione da te proposta e il parallelo con la divergenza mi sono risultati molto chiari, riesco a seguire ogni passaggio tuttavia mi risulta meno chiara la parametrizzazione della superficie \( \Sigma \) , come ci siamo arrivati analiticamente?
grazie

la quale se fatta ruotare di \(\alpha = 2\,\pi\) attorno all'asse \(z\) genera una superficie \(\Sigma\) parametrizzabile come \[ (x,\,y,\,z) := \mathbf{s}(u,\,v) = \left( \left(u^2+1\right)\cos v, \; \left(u^2+1\right)\sin v, \; u \right), \; \; \; \text{per} \; (u,\,v) \in A := [1,\,2] \times [0,\,2\pi) \,. \]

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Ma queste non sono le parametrizzazioni di una superficie cilindrica? , x e y descrivono una circonferenza che se "alzata" di quota z descrive un cilindro. Nel caso di un paraboloide vale questa definizione comunque? e poi z sarebbe una funzione? E se per esempio avessi da ricavare le componenti di un vettore, come dovrei derivare per ricavare A, B , C ?
Perdonami ho notevoli difficoltà nel parametrizzare