Flusso campo vettoriale

[Daddarius1]

Scrivo prima la curva $ gamma { ( y=cost ),( z=t ):} $ con $tin[0,pi/2]$
poi la superficie $ varphi{ ( x=0 ),( y=cost sintheta ),( z=t ):} $ con $tin[0,pi/2]$ e $thetain[0,2pi]$

Ora devo calcolare l'integrale $ int_(0)^(2pi) int_(0)^(pi/2)f(t)*sqrt((f'(t))^2+(g'(t))^(2)) d(theta)dt $
che diventa $2pi$ $ int_(0)^(pi/2) cost*sqrt(sin^2 t + 1)dt $
Vi trovate?

[Sossella1]

Io parametrizzerei la curva come:
$ gamma={ ( y=cos(t) ),( z=t ):} $ con $ t in [0,pi/2]$
e la superficie di rotazione ottengo:
$ { ( x=costheta ),( y=costsintheta ),( z=t ):} $ con $ t in [0,pi/2]$ e $ theta in [0,2pi]$

[Daddarius1]

"Sossella":Io parametrizzerei la curva come:
$ gamma={ ( y=cos(t) ),( z=t ):} $ con $ t in [0,pi/2]$
e la superficie di rotazione ottengo:
$ { ( x=costheta ),( y=costsintheta ),( z=t ):} $ con $ t in [0,pi/2]$ e $ theta in [0,2pi]$

Mi vado a calcolare (A,B,C) per poi usare la formula $A(varphi)=int_(0)^(2pi) int_(0)^(pi/2)sqrt(A^2 + B^2 +C^2) d(theta) dt $
$ || ( xtheta , xt ),( ytheta , yt ),( ztheta , zt ) || $

$ || (-sintheta , 0),( costcostheta , -sintsintheta ),( 0 , 1 ) || $

$A=(costcostheta), B=(sintheta), C=(sintsintheta)$

Ottengo $ int_(0)^(2pi) int_(0)^(pi/2)sqrt(cos^2t cos^2 theta + sin^2 theta+ sin^2 t sin^2 theta) d(theta) dt $

[Daddarius1]

"TeM":Avendo ben presente quanto qui schematizzato, dato un arco di curva \(\Gamma\) parametrizzato da \[ (x,\,y,\,z) := \mathbf{c}(u) = \left(0,\; \cos u,\;u\right)\,, \; \; \; \text{per} \; u \in \left[0,\,\frac{\pi}{2}\right] \,, \] la superficie \(\Sigma\) ottenuta ruotando \(\Gamma\) per \(\alpha = 2\pi\) attorno all'asse \(z\) ha equazioni parametriche \[ (x,\,y,\,z) := \mathbf{r}(u,\,v) = \left(\cos u\,\cos v, \; \cos u\,\sin v, \; u \right)\,, \; \; \; \text{per} \; (u,\,v) \in A := \left[0,\,\frac{\pi}{2}\right] \times [0,\,2\pi) \; . \] Per definizione, la misura di \(\Sigma\) è data da \[ |\Sigma| := \iint\limits_{\Sigma} 1\,\text{d}\sigma = \iint\limits_A \left|\mathbf{r}_u(u,\,v) \land \mathbf{r}_v(u,\,v)\right|\text{d}u\,\text{d}v = \dots \]
Ora, dato un campo vettoriale \(\mathbf{F} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) definito da \[ \mathbf{F}(x,\,y,\,z) := \left(y, \; -x, \; x\,y\right) \,, \] per definizione, il flusso \(\Phi\) di \(\mathbf{F}\) attraverso la superficie \(\Sigma\) è pari a \[ \Phi_{\Sigma}(\mathbf{F}) := \iint\limits_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_{\Sigma}\,\text{d}\sigma = \iint\limits_A \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,\,v))\cdot \underbrace{\left(\mathbf{r}_u(u,\,v) \land \mathbf{r}_v(u,\,v)\right)}_{con \; 3° \; comp. \; non \; negativa}\,\text{d}u\,\text{d}v = \dots \] A te i conti.

Con questa parametrizzazione ottengo $2pi* int_(0)^(pi/2) sqrt(cos^2t + sin^2 t cos^2 t) dt$
$2pi* int_(0)^(pi/2) sqrt(cos^2t(1+sin^2 t) dt$
$2pi* int_(0)^(pi/2) |cost|sqrt(1+ sin^2 t) dt$ |cost|=cost perchè sono nel primo quadrante

[Daddarius1]

"TeM":[quote="Daddarius"]Con questa parametrizzazione ottengo $ 2pi* int_(0)^(pi/2) sqrt(cos^2t + sin^2 t cos^2 t) dt $
$ 2pi* int_(0)^(pi/2) sqrt(cos^2t(1+sin^2 t) dt $
$ 2pi* int_(0)^(pi/2) |cost|sqrt(1+ sin^2 t) dt $ |cost|=cost perchè sono nel primo quadrante

Ottimo!! A questo punto, tramite una sostituzione del tipo \(u = \sin t\) ci si riporta banalmente a \(|\Sigma| = 2\pi \int_0^1 \sqrt{1 + u^2}\,\text{d}u\). Per risolvere quest'ultimo integrale evitando la trigonometria occorre porre
\(v = \sqrt{1 + u^2} + u\). Inizialmente occorre fare qualche conto, ma poi sarà tutto decisamente in discesa. [/quote]


$v=sqrt(1+u^2) + u$ diventa $sqrt(1+u^2)=v-u$, $v^2 + u^2 -2vu=1+u^2$, $v^2-2vu=1$, $2vu=-1/2v + v^2/(2v)$, $u=-1/(2v)+v/2$ segue $du=(1/(2v^2)+1/2)dv$

[Daddarius1]

"TeM":[quote="Daddarius"]$u=-1/(2v)+v/2$ segue $du=(1/(2v^2)+1/2)dv$

Perfetto!! Dai che ci sei quasi, trasforma per bene l'integrale (estremi di integrazione inclusi) e sarai quasi arrivato. [/quote]
$int_(1)^(sqrt(2)+ 1) (v/2 + 1/(2v))*(1/(2v^2)+ 1/2) dv$
$int_(1)^(sqrt(2)+ 1) 1/2v + 1/(4v^3)+ v/4 dv$

[Daddarius1]

"TeM":[quote="Daddarius"]$ int_(1)^(sqrt(2)+ 1) (v/2 + 1/(2v))*(1/(2v^2)+ 1/2) dv $
$ int_(1)^(sqrt(2)+ 1) 1/2v + 1/(4v^3)+ v/4 dv $

Suppongo che il primo addendo all'ultimo passaggio sia \(\frac{1}{2\,v}\). In tal caso risulta tutto corretto e non rimangono
che gli ultimi banali conticini per arrivare al risultato tanto sudato: \(|\Sigma| = \pi\left(\sqrt{2} + \log(1 + \sqrt{2})\right) \approx 7.212 \).

P.S. ricordati che tale integrale è moltiplicato per \(2\pi\).[/quote]

Si è 1/(2v). Finito!