Flusso campo vettoriale
Ciao a tutti 
mi sono imbattuto in questo esericizio e non riesco a cavarne piedi perchè non ne trovo nemmeno simili da cui poter prendere spunto, 
e volevo appunto chiedere una dritta su come scalvare l'ostacolo... di come partire ... posto il testo.. Calcolare flusso campo vettoriale poi ho un certo vettore F (che non mi crea problemi), uscente dalla frontiera dell insieme $A = { z >= ( \sqrt{ [(x-2)^2 + (y-3)^2 ]} + 2 ) , z <= -(x-2)^2 - (y-3)^2 +4 } $(corretto) .
Come ne esco vivo da questo insieme ?? Come lo devo parametrizzare? cosa devo farne?
Mi scuso in anticipo se non ho usato il linguaggio per le formule. Ringrazio in anticipo a tutti.
Una mezza idea... e' quella che siano due cerchi concentrici che formano una corona... essendo di raggio diverso... e quella corona sia il mio dominio... da trasformare in coordinate cilindriche... pero sono in dubbio forte... su come proseguire..
mi sono imbattuto in questo esericizio e non riesco a cavarne piedi perchè non ne trovo nemmeno simili da cui poter prendere spunto, e volevo appunto chiedere una dritta su come scalvare l'ostacolo... di come partire ... posto il testo.. Calcolare flusso campo vettoriale poi ho un certo vettore F (che non mi crea problemi), uscente dalla frontiera dell insieme $A = { z >= ( \sqrt{ [(x-2)^2 + (y-3)^2 ]} + 2 ) , z <= -(x-2)^2 - (y-3)^2 +4 } $(corretto) . Come ne esco vivo da questo insieme ?? Come lo devo parametrizzare? cosa devo farne?
Mi scuso in anticipo se non ho usato il linguaggio per le formule. Ringrazio in anticipo a tutti.
Una mezza idea... e' quella che siano due cerchi concentrici che formano una corona... essendo di raggio diverso... e quella corona sia il mio dominio... da trasformare in coordinate cilindriche... pero sono in dubbio forte... su come proseguire..
Risposte
Non capisco bene la formula. Hai una radice quadrata elevata al quadrato?
insieme corretto:
$A = { z >= ( \sqrt{ [(x-2)^2 + (y-3)^2 ]} + 2 ) , z <= -(x-2)^2 - (y-3)^2 +4 } $ scusami errore notturno
$A = { z >= ( \sqrt{ [(x-2)^2 + (y-3)^2 ]} + 2 ) , z <= -(x-2)^2 - (y-3)^2 +4 } $ scusami errore notturno
Ok.
Perciò hai che \(\displaystyle A = \bigl\{ (u,v,z)\in\mathbb{R}^2 \mid \sqrt{ u^2 + v^2 } + 2 \le z \le 4 - (u^2 + v^2) \bigr\} \), dove ho usato la trasformazione \(\displaystyle u = x - 2 \) e \(\displaystyle v = y -3 \).
Nota che ancora non hai esplicitato condizioni su \(\displaystyle u \) e \(\displaystyle v \).
Per farlo bisogna trovare le condizioni affinché \(\displaystyle \sqrt{ u^2 + v^2 } + 2 \le 4 - (u^2 + v^2) \). Per prima cosa \(\displaystyle A^2 = u^2 + v^2 \ge 0 \) per ogni \(\displaystyle (u,v) \). Consideriamo quindi le condizioni su \(\displaystyle A \). Abbiamo che \(\displaystyle 2 + A \le 4 - A^2 \) ovvero \(\displaystyle A^2 + A -2 \le 0 \). Cerchiamo la soluzione: \(\displaystyle \Delta = b^2 - 4ac = 1 + 8 = 9 \), quindi \(\displaystyle A_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} = \{ -2, 1 \} \) ovvero \(\displaystyle -2\le A\le 1 \) che però intersecato con la positività di \(\displaystyle A \) diventa \(\displaystyle 0\le A\le 1 \).
Lo spazio che stai considerando sembra un po' una trottola, è l'intersezione di due coni.
Perciò hai che \(\displaystyle A = \bigl\{ (u,v,z)\in\mathbb{R}^2 \mid \sqrt{ u^2 + v^2 } + 2 \le z \le 4 - (u^2 + v^2) \bigr\} \), dove ho usato la trasformazione \(\displaystyle u = x - 2 \) e \(\displaystyle v = y -3 \).
Nota che ancora non hai esplicitato condizioni su \(\displaystyle u \) e \(\displaystyle v \).
Per farlo bisogna trovare le condizioni affinché \(\displaystyle \sqrt{ u^2 + v^2 } + 2 \le 4 - (u^2 + v^2) \). Per prima cosa \(\displaystyle A^2 = u^2 + v^2 \ge 0 \) per ogni \(\displaystyle (u,v) \). Consideriamo quindi le condizioni su \(\displaystyle A \). Abbiamo che \(\displaystyle 2 + A \le 4 - A^2 \) ovvero \(\displaystyle A^2 + A -2 \le 0 \). Cerchiamo la soluzione: \(\displaystyle \Delta = b^2 - 4ac = 1 + 8 = 9 \), quindi \(\displaystyle A_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} = \{ -2, 1 \} \) ovvero \(\displaystyle -2\le A\le 1 \) che però intersecato con la positività di \(\displaystyle A \) diventa \(\displaystyle 0\le A\le 1 \).
Lo spazio che stai considerando sembra un po' una trottola, è l'intersezione di due coni.
TI ringrazio di cuore guarda non ho trovato nulla di simile in giro per internet,sono tutti simili quelli che ho all'esame. Lo devo adesso spolpare un po da solo per capirlo bene,e una volta che ho quell insieme come proseguo? ho il vettore
$V( xy , -y^2 , z/ ( \sqrt{[(x-2)^2 + (y-3)^2 ]}) ) $
ti ringrazio
$V( xy , -y^2 , z/ ( \sqrt{[(x-2)^2 + (y-3)^2 ]}) ) $
ti ringrazio
Ho spolpato tutto. Brutalmente detto. Ho trovato con il tuo metodo gli estremi Omega dell integrale DX DY, gli estremi dell integrale DZ sono inclusi nel pacchetto dell insieme A.... fatto la divergenza di V. Dopo di che.. ho gli estremi.. ho la divergenza... facciamoci un bel integrale triplo... e viiaaaa il gioco è fatto ) Grazie milleee di tutto.
) Grazie milleee di tutto.
se non vado in errore, con l integrale dxdy... o meglio dudv vado a calcolarmi un area di un cerchio... poi ho proseguito con le polari... e dovrei essere apposto. 
domanda. Se sto calcolando tutto,rispetto a U e V.. anche la divergenza va calcolata rispetto a U e V giusto? gli estremi di integrazione mi risulta radq(u^2+v^2) <=1 dell integrale dudv è giusto?? Svolto tutto mi da $(\pi)/3$
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