Flusso campo vettoriale:

[ZeTaMaster]

Buonasera, non riesco proprio a capire per bene questi esercizi sul flusso.
Calcolare il flusso del campo vettoriale $F(x; y; z) = (x; y-x; z+x)$ attraverso il triangolo $T$ di vertici $(1; 0; 0)$,$ (0; 1; 0)$ e$ (0; 0; 1)$ orientato dal versore normale che ha componente positiva nella direzione z.
Cioè sto cercando in tutti i modi di capire questo flusso. So che il flusso è uguale a:
$int int F n dΣ$ . Allora ho
pensato di parametrizzare il triangolo , ma non so come fare.

[21zuclo]

io userei il teorema della divergenza..

$ div F=\partial_x F_1+\partial_y F_2+\partial_z F_3 $

così avrai $ \int_T(div F)dxdydz $

qualè il tuo insieme T?.. bé hai una piramide.. (più o meno, non bene come spiegarti)..

visto che è su tutto $RR^3$ la calcolo solo nel primo ottante.. così poi l'integrale lo devi moltiplicare per $8$

le coordinate sono $ A=((1),(0),(0)), B=((0),(1),(0)), C=((0),(0),(1)) $

Ok fissati sul primo ottante.. integro per strati (ma anche per fili si può)

per strati se noti si ha.. $ z\in [0,1] $

quindi i valori di $x$ e $y$ variano (fai un disegno e te ne accorgi)

$ T=\{(x,y,z)^T\in RR^3|z\in [0,1], 0\leqx\leq 1-z, 0\leq y\leq1-x-z\, x,y,z\geq0} $

ricordati che sei solo sulla parte positiva.. devi moltiplicare l'integrale per $8$

[ZeTaMaster]

Non ho capito tanto... fino al teorema della divergenza ci sono! ma poi perchè ottanti e non quadranti?Ho dei problemi a visualizzare la figura in R^3 , perciò volevo parametrizzare il triangolo...

[21zuclo]

"ZeTaMaster":Non ho capito tanto... fino al teorema della divergenza ci sono! ma poi perchè ottanti e non quadranti $ A=\{(x.y,z)^T|in RR^3| x,y,z>0, x^2+y^2+z^2

se prendi la figura solo nel primo ottante.. $x>0,y>0,z>0$ hai un tetraedro..

siccome il tuo insieme non ti da vincoli di prendere o solo la parte positiva o negativa..

predi solo il primo ottante.. e poi moltiplichi per 8 il tuo integrale..

ecco il Tetraedro

il piano $RR^3$ è composto da 8 facce..

prendi per esempio $ A=\{(x.y,z)^T|in RR^3| x,y,z>0, x^2+y^2+z^2
l'insieme A è $1/8$ di sfera..

[ZeTaMaster]

La mia difficoltà è nella parametrizzazione del triangolo.. come si fa?

[21zuclo]

ma con il teorema della divergenza non hai da parametrizzare nulla..

perchè ti ricordo cosa dice il teorema

Sia A un aperto regolare limitato e sia $ w(x) $ un campo vettoriale di classe $ C^1 $ in un aperto B contentente \( \overline{A} \).
Allora $ \int_(\partial A )d\sigma=\int\int\int_A div (w(x))dxdydz $

hai passi da un'integrale di linea a un integrale triplo sull'insieme..

non hai bisogno di parametrizzare nulla, è come stessi facendo un integrale triplo su sull'insieme A..

[ZeTaMaster]

Si ok. Ma io mi calcolo la divergenza che è 3.. poi calcolo l'integrale sulla superficie del triangolo, come la scrivo analiticamente questo triangolo?

[21zuclo]

"ZeTaMaster":Si ok. Ma io mi calcolo la divergenza che è 3.. poi calcolo l'integrale sulla superficie del triangolo, come la scrivo analiticamente questo triangolo?

hai questo $ \int_T (div F)dxdydz $

ove $ T=\{(x,y,z)^T\in RR^3| x+y+z\leq 1\} $

non ti da vincoli.. quindi fai come ti ho suggerito prima.. calcola l'area nel primo ottante e poi moltiplichi per 8

[ZeTaMaster]

Perche T è proprio quello?

[21zuclo]

"ZeTaMaster":Perche T è proprio quello?

come si trova l'equazione del piano passante per 3 punti dati?.. ovviamente 3 punti dati quando sei in $RR^3$

dovresti averlo fatto al corso di Algebra Lineare e Geometria.. oppure come molti chiamano quell'esame Geometria..

insomma dove hai fatto rette e piani..

[ZeTaMaster]

Questo si, però mi domando perchè calcolare l'integrale sul piano passante tra i tre punti se ho effettivamente un triangolo?