Flusso campo vettoriale
Si vuole calcolare il flusso del campo vettoriale $F(x,y,z)=(x^4,y,z)$ attraverso il paraboloide S descritto da $z=1-(x^2+y^2)$.
Si sceglie di orientare il versore normale in modo che punti verso l'esterno.
Per parametrizzare il paraboloide si usa $s:(u,v)->(u,v,1-(u^2+v^2))$ e si ha quindi $J_s(u,v)=((1,0),(0,1),(-2u,-2v))$.
Si ha che il flusso richiesto è $\int_S F*v dsigma=int_(u^2+v^2<=1)|((u^4,1,0),(v,0,1),(1-(u^2+v^2),-2u,-2v))|$
Ma perchè il dominio di integrazione è $u^2+v^2<=1$?
Si sceglie di orientare il versore normale in modo che punti verso l'esterno.
Per parametrizzare il paraboloide si usa $s:(u,v)->(u,v,1-(u^2+v^2))$ e si ha quindi $J_s(u,v)=((1,0),(0,1),(-2u,-2v))$.
Si ha che il flusso richiesto è $\int_S F*v dsigma=int_(u^2+v^2<=1)|((u^4,1,0),(v,0,1),(1-(u^2+v^2),-2u,-2v))|$
Ma perchè il dominio di integrazione è $u^2+v^2<=1$?
Risposte
Ah ecco appunto, limitandoci alla parte di paraboloide che sta sopra al piano $$ allora i conti tornano anche a me. Grazie 
A proposito di teorema della divergenza...
Supponiamo di chiamare $Z$ la regione ${(x,y,z)\inRR^3:x^2+y^2+z^2=a^2,h_1<=z<=h_2}$ (con $-a
Poi dovevo calcolare il flusso del campo vettoriale $F(x,y,z)=x*e_1+y*e_2+0*e_3$ attraverso Z orientata secondo la normale uscente dalla sfera: ho scelto le coordinate cilindriche $(theta,z)->(acostheta,asintheta,z)$ e quindi la matrice Jacobiana associata è $((-asintheta,0),(acostheta,0),(0,1))$; il flusso è dunque $\int_(h_1)^(h_2) int_(0)^(2pi)"det"((acostheta,-asintheta,0),(asintheta,acostheta,0),(0,0,1)) d theta dz=2pia^2(h_2-h_1)$. Mi confermi che è giusto? In questo modo ho orientato la superficie secondo la normale uscente o entrante?
Infine...come posso usare il teorema della divergenza per determinare il volume dello strato delimitato da $Z$ e dai piani $z=h_1$ e $z=h_2$?
A proposito di teorema della divergenza...
Supponiamo di chiamare $Z$ la regione ${(x,y,z)\inRR^3:x^2+y^2+z^2=a^2,h_1<=z<=h_2}$ (con $-a
Poi dovevo calcolare il flusso del campo vettoriale $F(x,y,z)=x*e_1+y*e_2+0*e_3$ attraverso Z orientata secondo la normale uscente dalla sfera: ho scelto le coordinate cilindriche $(theta,z)->(acostheta,asintheta,z)$ e quindi la matrice Jacobiana associata è $((-asintheta,0),(acostheta,0),(0,1))$; il flusso è dunque $\int_(h_1)^(h_2) int_(0)^(2pi)"det"((acostheta,-asintheta,0),(asintheta,acostheta,0),(0,0,1)) d theta dz=2pia^2(h_2-h_1)$. Mi confermi che è giusto? In questo modo ho orientato la superficie secondo la normale uscente o entrante?
Infine...come posso usare il teorema della divergenza per determinare il volume dello strato delimitato da $Z$ e dai piani $z=h_1$ e $z=h_2$?
La superficie l'ho trovata esattamente come hai detto tu solo che disponendo già del risultato non ho riportato i passaggi per arrivarci.
Riguardo al flusso, anche io ho impostato il conto così ma quell'integrale mi risulta quindi essere $\int_0^(2pi) int_(h_1)^(h_2) a^2 dz d theta=int_0^(2pi) a^2(h_2-h_1) d theta=2pi a^2 (h_2-h_1)$ no?
Ad ogni modo, al di là del conto, come faccio a sapere se questo flusso è quello uscente dalla superficie (come richiesto) o entrante (e dunque per ottenere quello uscente lo dovrei cambiare di segno)?
Il volume l'avevo calcolato anch'io come un integrale triplo, ottenendo il tuo stesso risultato, ma era richiesto di calcolarlo mediante il teorema della divergenza che neanche a me è chiaro come usare in questo caso.
Riguardo al flusso, anche io ho impostato il conto così ma quell'integrale mi risulta quindi essere $\int_0^(2pi) int_(h_1)^(h_2) a^2 dz d theta=int_0^(2pi) a^2(h_2-h_1) d theta=2pi a^2 (h_2-h_1)$ no?
Ad ogni modo, al di là del conto, come faccio a sapere se questo flusso è quello uscente dalla superficie (come richiesto) o entrante (e dunque per ottenere quello uscente lo dovrei cambiare di segno)?
Il volume l'avevo calcolato anch'io come un integrale triplo, ottenendo il tuo stesso risultato, ma era richiesto di calcolarlo mediante il teorema della divergenza che neanche a me è chiaro come usare in questo caso.
Hai ragione, non mi ero accorto della parametrizzazione sbagliata.
Riguardo la normale della superficie da quanto mi hai detto mi risulta che quello che abbiamo calcolato è il flusso uscente, confermi?
Per quanto riguarda l'applicazione del teorema della divergenza mi risulta chiara la tua spiegazione: facendo i conti ottengo che il flusso sulle due circonferenze di base del nostro solido è nullo e dunque si avrebbe che il volume vale $1/2*2/3pi(h_1^3+3a^2(h_2-h_1)-h_2^3)=1/3*pi(h_1^3+3a^2(h_2-h_1)-h_2^3)$...il che è compatibile con i conti che abbiamo fatto in modo diretto
Riguardo la normale della superficie da quanto mi hai detto mi risulta che quello che abbiamo calcolato è il flusso uscente, confermi?
Per quanto riguarda l'applicazione del teorema della divergenza mi risulta chiara la tua spiegazione: facendo i conti ottengo che il flusso sulle due circonferenze di base del nostro solido è nullo e dunque si avrebbe che il volume vale $1/2*2/3pi(h_1^3+3a^2(h_2-h_1)-h_2^3)=1/3*pi(h_1^3+3a^2(h_2-h_1)-h_2^3)$...il che è compatibile con i conti che abbiamo fatto in modo diretto
Grazie mille!!
Provo a proporre un esercizio analogo.
Si tratta di studiare volume e superficie laterale della regione ${x^2/a^2+y^2/a^2-z^/c^2<=1,h_1<=z<=h_2}$.
Posso riscrivere la prima equazione come $x^2+y^2<=(1+z^2/c^2)a^2$ in modo che risulti evidente che le curve di livello sono tutte circonferenze.
Parametrizzo in coordinate cilindriche $(r,theta,z)->(rcos(theta),rsin(theta),z)$ ed ho $V=\int_(h_1)^(h_2) int_0^pi int_0^(a*sqrt(1+z^2/c^2)) r dr d theta dz=pi*a^2(h_2+h_2^3/(3c^2)-h_1-h_1^3/(3c^2))$.
Ora voglio provare a calcolare l'area della superficie laterale del solido (senza usare la divergenza): uso la parametrizzazione $(theta,z)->(a*sqrt(1+z^2/c^2)cos(theta),a*sqrt(1+z^2/c^2)sin(theta),z)$ che ha come matrice jacobiana $((-a*sqrt(1+z^2/c^2)sin(theta),cos(theta)*a*z/(c^2*sqrt(1+z^2/c^2))),(a*sqrt(1+z^2/c^2)cos(theta),sin(theta)*a*z/(c^2*sqrt(1+z^2/c^2))),(0,1))$.
Il prodotto vettore delle due colonne della matrice jacobiana è $a^2z/c^2$ dunque calcolerò la superficie laterale come $S=\int_(h_1)^(h_2) int_0^(2pi) a^2z/c^2=pia^2/c^2(h_2^2-h_1^2)$ ma questo risultato non sembra corrispondere...
Provo a proporre un esercizio analogo.
Si tratta di studiare volume e superficie laterale della regione ${x^2/a^2+y^2/a^2-z^/c^2<=1,h_1<=z<=h_2}$.
Posso riscrivere la prima equazione come $x^2+y^2<=(1+z^2/c^2)a^2$ in modo che risulti evidente che le curve di livello sono tutte circonferenze.
Parametrizzo in coordinate cilindriche $(r,theta,z)->(rcos(theta),rsin(theta),z)$ ed ho $V=\int_(h_1)^(h_2) int_0^pi int_0^(a*sqrt(1+z^2/c^2)) r dr d theta dz=pi*a^2(h_2+h_2^3/(3c^2)-h_1-h_1^3/(3c^2))$.
Ora voglio provare a calcolare l'area della superficie laterale del solido (senza usare la divergenza): uso la parametrizzazione $(theta,z)->(a*sqrt(1+z^2/c^2)cos(theta),a*sqrt(1+z^2/c^2)sin(theta),z)$ che ha come matrice jacobiana $((-a*sqrt(1+z^2/c^2)sin(theta),cos(theta)*a*z/(c^2*sqrt(1+z^2/c^2))),(a*sqrt(1+z^2/c^2)cos(theta),sin(theta)*a*z/(c^2*sqrt(1+z^2/c^2))),(0,1))$.
Il prodotto vettore delle due colonne della matrice jacobiana è $a^2z/c^2$ dunque calcolerò la superficie laterale come $S=\int_(h_1)^(h_2) int_0^(2pi) a^2z/c^2=pia^2/c^2(h_2^2-h_1^2)$ ma questo risultato non sembra corrispondere...
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