Flusso attraverso una superficie sferica delimitata fra due piani

[Genny_it]

Ragà ho un grosso problema con questo flusso, e per grosso intendo che non riesco proprio a farlo!
Calcolare il flusso del rotore del campo vettoriale
$F(x,y,z)= (y^2/(sqrt(x^2+y^2)),x^2/sqrt(x^2+y^2),(xz)/(sqrt(x^2+y^2)))$
Attraverso la porzione di superficie sferica di centro l'origine e raggio 1 compreso tra i piani $z=0$ e $z=(1/2)$ orientata in modo che la normale positiva sia quella esterna alla sfera.
[l'esercizio mi porta come risultato $0$]

Considerazioni che ho fatto:
Il rotore viene di per se molto lungo, poi avevo pensato di applicare il teorema della divergenza, il quale allunga ancora di più i calcoli, perdonatemi se non scrivo passo passo quello che ho fatto; comunque dopo aver calcolato la divergenza del rotore devo impostare l'integrale triplo in $dxdydz$ con $x in [0,1]$; $y in [0,1]$; $z in [0,1/2]$ ma credo che sia sbagliato in quanto in questo modo mi calcolo un cilindro di base $x^2+y^2=1$ con $z in [0,1/2]$.
Allora data l'equazione della mia sfera $x^2+y^2+z^2=1$ ho pensato di ricavarmi la $z$, quindi $z=sqrt(1-x^2-y^2)$ non la faccio più oscillare fra $[0,1/2]$ ma bensì fra $[0,sqrt(1-x^2-y^2)]$ purtroppo però in questo modo mi calcolo il flusso della semisfera con $z>=0$ (almeno penso).
Non saprei proprio come fare, so che esistono le coordinate sferiche ma se le uso non saprei imporre i limiti per individuare l'area della mia superficie sferica (che poi dovrebbe essere una calotta sferica).
Mi spiego meglio calcolata la divergenza del rotore che è un lavoraccio, voglio passare alle coordinate sferiche, ma come faccio?
la mia non è più una sfera D: in pratica mi blocco subito dopo aver calcolato il rotore e la divergenza!
Aiutatemi vi prego, ve ne sarei davvero molto grato, sono entrato in crisi con questo esercizio! non so come svolgerlo

[Genny_it]

"TeM": parametrizzabile in modo naturale come \[ (x,\,y,\,z) := \mathbf{r}(\varphi,\,\theta) = \left( \sin\varphi\,\cos\theta, \; \sin\varphi\,\sin\theta, \; \cos\varphi \right)\,, \; \; \; \text{per} \; (\varphi,\,\theta) \in A := \left[\frac{\pi}{3}, \; \frac{\pi}{2}\right] \times [0,\,2\pi) \]

Primo dubbio, potresti spiegarmi come ricavi che $varphi in [pi/3,pi/2]$?
P.s Grazie per la risposta precedente

[Genny_it]

Ciao TeM scusami il ritardo, credo di aver capito come comportarmi con i sistemi (mi è stato utile il link), ma adesso quello che mi sfugge è la seguente cosa!
Ho provato con il primo metodo da te proposto e mi trovo con 0 ma volevo chiederti:

"TeM":
Per definizione di flusso (uscente), si ha
\[ \Phi_{\Sigma}(\nabla \land \mathbf{F}) := \iint\limits _{\Sigma} (\nabla \land \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}_{\Sigma} \, \text{d}\sigma = \iint\limits_A (\nabla \land \mathbf{F})(\mathbf{r}(\varphi,\,\theta)) \cdot \underbrace{\left(\mathbf{r}_{\varphi}(\varphi,\,\theta) \land \mathbf{r}_{\theta}(\varphi,\,\theta)\right)}_{\text{esterna a }\Omega}\,\text{d}\varphi\,\text{d}\theta = \dots
\]

per $(grad ^^ F)(r(varphi,theta))$ intendi il rotore, del campo Vettoriale $F(x,y,z)$ da me proposto, sostituendo la $x$ con $senvarphicostheta$ e la $y$ con $senvarphisentheta$ e la $z$ con $ cosvarphi$?

poi ho provato con il secondo, ma ho alcuni dubbi:

"TeM": mentre per il teorema del rotore, si ha \[ \Phi_{\Sigma}(\nabla \land \mathbf{F}) \overset{\text{curl th}}{=} \int\limits_{\partial^+\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{t}_{\partial \Sigma}\,\text{d}s = \int\limits_0^{2\pi} \mathbf{F}(\mathbf{s}_1(\theta)) \cdot \mathbf{s}_1'(\theta)\,\text{d}\theta + \int\limits_{2\pi}^0 \mathbf{F}(\mathbf{s}_2(\theta)) \cdot \mathbf{s}_2'(\theta)\,\text{d}\theta = \dots \]

1) perchè consideri solo le due superfici tagliate dai piani $z=0$ e $z=1/2$ Non dovresti considerare anche la superficie sferica?
2) perchè l'ultimo integrale tra questi citati va da $[2pi,0)$ e non $[0,2pi)$ ? e ad esempio risolvere:
$int_0^(2pi) F(s_1(theta))\cdot s'_1(theta)d theta$, equivale a risolvere: $int_0^(2pi) (sen^2theta,cos^"theta,0)\cdot (-sentheta,costheta,0) d theta$

Il terzo metodo devo ancora provarlo

[Genny_it]

Grazie mille di tutto TeM, pensavo di aver già risposto, comunque sappi che mi trovo pure con il terzo metodo e niente volevo ringraziarti ancora; scusami se quindi rispondo cosi tardi