Flusso attraverso una superficie.
Vi espongo qual'è il mio problema...
Dato il vettore
$\vec F(x,y,z)$$=(x,y,z)$
devo determinare il flusso uscente dalla frontiera dell'insieme delimitato dal piano $z=0$,dalla superficie della sfera con centro nell'origine e raggio 1 e dalla falda superiore del cono
$z^2$$=3(x^2+y^2)$
Ora io ho calcolato le intersezioni tra cono e sfera e ho impostato l'integrale per calcolarmi il flusso attraverso la porzione di sfera tra il piano $z=0$ e il piano su cui giace la circonfrenza di intersezione tra cono e sfera....
ma ottengo un integrale negativo,dovuto credo al fatto che il raggio della sfera varia tra $1$ (sul piano $z=0$) e $1/2$ (dove interseca il cono) e quindi integrando ottengo un $-7/24$$sqrt(3)$ $\pi$.
E' possibille che mi risulti un flusso negativo?
Ora in quello che ho calcolato è già compresa la base "della sfera" quando $z=0$???o devo impostare un altro integrale per ottenere il flusso anche attraverso questa superficie??
Dato il vettore
$\vec F(x,y,z)$$=(x,y,z)$
devo determinare il flusso uscente dalla frontiera dell'insieme delimitato dal piano $z=0$,dalla superficie della sfera con centro nell'origine e raggio 1 e dalla falda superiore del cono
$z^2$$=3(x^2+y^2)$
Ora io ho calcolato le intersezioni tra cono e sfera e ho impostato l'integrale per calcolarmi il flusso attraverso la porzione di sfera tra il piano $z=0$ e il piano su cui giace la circonfrenza di intersezione tra cono e sfera....
ma ottengo un integrale negativo,dovuto credo al fatto che il raggio della sfera varia tra $1$ (sul piano $z=0$) e $1/2$ (dove interseca il cono) e quindi integrando ottengo un $-7/24$$sqrt(3)$ $\pi$.
E' possibille che mi risulti un flusso negativo?
Ora in quello che ho calcolato è già compresa la base "della sfera" quando $z=0$???o devo impostare un altro integrale per ottenere il flusso anche attraverso questa superficie??
Risposte
In questo caso (essendo la superficie chiusa) non si potrebbe applicare il teorema della divergenza?
Osevando che:
$nabla*\vec(F)=3$, non resta che calcolare il seguente integrale:
$int_V 3 dv$
nonchè il volume dello spazio contenuto entro la superficie assegnata moltiplicato per 3.
Osevando che:
$nabla*\vec(F)=3$, non resta che calcolare il seguente integrale:
$int_V 3 dv$
nonchè il volume dello spazio contenuto entro la superficie assegnata moltiplicato per 3.
Non mi sembra il caso di aprire un nuovo post..... ho un problema simile...
Devo Calcolare il flusso del campo vettoriale $F:=(1,0,1)$ attraverso la superficie $S={(x,y,z): z=x^2+2y^2, 1<=z<=9}$, orientata in modo che il versore della normale formi un angolo acuto con il semiasse positivo delle z.
ho calcolato il versore di S che mi viene $u=(-2/sqrt(21),-4/sqrt(21),1/sqrt(21)).
a questo punto, siccome F non è espresso in funzione di x,y,z, per calcolare il flusso, basta che faccio il prodotto scalare tra F e u giusto? a questo punto però come oriento s in modo che il versore della normale formi un angolo acuto con il semiasse positivo delle z?
Devo Calcolare il flusso del campo vettoriale $F:=(1,0,1)$ attraverso la superficie $S={(x,y,z): z=x^2+2y^2, 1<=z<=9}$, orientata in modo che il versore della normale formi un angolo acuto con il semiasse positivo delle z.
ho calcolato il versore di S che mi viene $u=(-2/sqrt(21),-4/sqrt(21),1/sqrt(21)).
a questo punto, siccome F non è espresso in funzione di x,y,z, per calcolare il flusso, basta che faccio il prodotto scalare tra F e u giusto? a questo punto però come oriento s in modo che il versore della normale formi un angolo acuto con il semiasse positivo delle z?
up...
Fai bene i conti, però...
$S$ non è un piano, quindi il versore normale non può essere costante.
$S$ non è un piano, quindi il versore normale non può essere costante.
e come viene? scusa ma non mi è mai capitato un esercizio così
No? Strano...
Innanzitutto, hai fatto un disegno di $S$?
Hai valutato se è conveniente parametrizzare $S$ in coordinate polari? O se è meglio scrivere la parametrizzazione in coordinate cartesiane?
Come vuoi procedere, insomma?
Innanzitutto, hai fatto un disegno di $S$?
Hai valutato se è conveniente parametrizzare $S$ in coordinate polari? O se è meglio scrivere la parametrizzazione in coordinate cartesiane?
Come vuoi procedere, insomma?
Allora, $S={(x,y,z): z=x^2+2y^2, 1<=z<=9}$
nel piano x,z ho una parabola verso l'alto con eq z=x^2, mentre guardando dall'alto cioè piano x,y ho due ellissi concentriche; una di equazione x^2+2y^2=9 e l'altra x^2+2y^2=1.
Calcolando i tre determinanti A,B,C vedo che S è regolare.
dopodichè mi si chiede il flusso del campo vettoriale F(1,0,1) attraverso S, orientata in modo che il versore della normale formi un angolo acuto con il semiasse positivo delle z...
per il resto non so come procedere... so che flusso=$int_S(F*n) ds$ dove F è il vettore del campo ed n è il versore normale....
A questo punto è giusto dire che flusso=$intint_D (1*A+0*B+1*C) dudv$ dove D è la proiezione su x,y della superficie?
nel piano x,z ho una parabola verso l'alto con eq z=x^2, mentre guardando dall'alto cioè piano x,y ho due ellissi concentriche; una di equazione x^2+2y^2=9 e l'altra x^2+2y^2=1.
Calcolando i tre determinanti A,B,C vedo che S è regolare.
dopodichè mi si chiede il flusso del campo vettoriale F(1,0,1) attraverso S, orientata in modo che il versore della normale formi un angolo acuto con il semiasse positivo delle z...
per il resto non so come procedere... so che flusso=$int_S(F*n) ds$ dove F è il vettore del campo ed n è il versore normale....
A questo punto è giusto dire che flusso=$intint_D (1*A+0*B+1*C) dudv$ dove D è la proiezione su x,y della superficie?
Innanzitutto, $S$ è la striscia compresa tra i piani d'equaizone $z=1,z=9$ del paraboloide ellittico avente vertice in $o=(0,0,0)$ ed asse coincidente col semiasse delle $z$ positive.
Quindi $S$ è una superficie grafico, ossia del tipo $(x,y,f(x,y))$ ove $f(x,y)=x^2+2y^2$ ed $(x,y)$ appartiene alla regione $D$ delimitata dalle due ellissi d'equazione $x^2+2y^2=1$ e $x^2+2y^2=9$.
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
axes("labels");
ellipse([0,0],3,2.12);
ellipse([0,0],1,0.71);[/asvg]
Scommetto che $A,B,C$ sono i minori con segno della matrice:
$((1,0,(\partial f)/(\partial x)),(0,1,(\partial f)/(\partial y)))$
di cui il terzo, ossia $C$, è identicamente uguale ad $1$; in tal caso, $A,B,C$ dipendono dalla scelta di $(x,y)$, quindi sarebbe meglio scrivere $A(x,y),B(x,y),C(x,y)$.
Il vettore $N(x,y):=(A(x,y),B(x,y),C(x,y))$ è un vettore normale a $S$, che va normalizzato per ottenere un versore normale $n(x,y)$; visto che il versore normale ottenuto per normalizzazione ha la stessa direzione di $N(x,y)$, per controllare che esso formi un angolo acuto con il semiasse $z>0$ basta controllare che $<< N(x,y), "e"^3>> >0$, con $"e"^3:=(0,0,1)$ versore dell'asse $z$. Ma $<< N(x,y), "e"^3>> =C(x,y)=1>0$, quindi $n(x,y)$ forma un angolo acuto con il semiasse $z>0$.
Quindi la parametrizzazione canonica del grafico va bene pr i tuoi scopi; una volta calcolato $n(x,y)$ ti rimane solo da calcolare l'integrale doppio $\int_D \{A(x,y)+1}" d"x"d"y$ che non mi sembra difficile.
Quindi $S$ è una superficie grafico, ossia del tipo $(x,y,f(x,y))$ ove $f(x,y)=x^2+2y^2$ ed $(x,y)$ appartiene alla regione $D$ delimitata dalle due ellissi d'equazione $x^2+2y^2=1$ e $x^2+2y^2=9$.
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
axes("labels");
ellipse([0,0],3,2.12);
ellipse([0,0],1,0.71);[/asvg]
Scommetto che $A,B,C$ sono i minori con segno della matrice:
$((1,0,(\partial f)/(\partial x)),(0,1,(\partial f)/(\partial y)))$
di cui il terzo, ossia $C$, è identicamente uguale ad $1$; in tal caso, $A,B,C$ dipendono dalla scelta di $(x,y)$, quindi sarebbe meglio scrivere $A(x,y),B(x,y),C(x,y)$.
Il vettore $N(x,y):=(A(x,y),B(x,y),C(x,y))$ è un vettore normale a $S$, che va normalizzato per ottenere un versore normale $n(x,y)$; visto che il versore normale ottenuto per normalizzazione ha la stessa direzione di $N(x,y)$, per controllare che esso formi un angolo acuto con il semiasse $z>0$ basta controllare che $<< N(x,y), "e"^3>> >0$, con $"e"^3:=(0,0,1)$ versore dell'asse $z$. Ma $<< N(x,y), "e"^3>> =C(x,y)=1>0$, quindi $n(x,y)$ forma un angolo acuto con il semiasse $z>0$.
Quindi la parametrizzazione canonica del grafico va bene pr i tuoi scopi; una volta calcolato $n(x,y)$ ti rimane solo da calcolare l'integrale doppio $\int_D \{A(x,y)+1}" d"x"d"y$ che non mi sembra difficile.
ok allora coincide tutto con quello che ho scritto, mi mancava solo il discorso dell'angolo acuto.... grazie 
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