Flusso attraverso una superficie
Stavo cercando di risolvere questo esercizio dove si chiede di calcolare un flusso, ma mi sembra un pò "strana" (per me) la forma dell'integrale a cui son giunto. Quindi volevo magari sapere se il punto a cui ero arrivato era giusto o meno. Scrivo il testo e il procedimento svolto.
La superficie è un cono che ha come base, con $z = 1$, un ellissi di assi $1$ e $1/2$.
Il vettore normale a quella superficie è:
$[-+f'_x,-+f'_y,+-1]/sqrt(f'_x^2+f'_y^2+1)$ e visto che si vuole $cosn\hat z <0$ allora prendo questi segni $[+,+,-]$
$[x/sqrt(x^2+4y^2),(4y)/(x^2+4y^2),-1]/sqrt(f'_x^2+f'_y^2+1)$
Quindi, data la superficie S, mi ritrovo con:
$int int_S \vec u * \vec n dS$ con dS = $sqrt(f'_x^2+f'_y^2+1)$
$int int_S x * (x/sqrt(x^2+4y^2))+ zy * ((4y)/sqrt(x^2+4y^2))+ y^2*(-1) dxdy$
$int int_S (x^2+4zy^2-y^2(sqrt(x^2+4y^2)))/sqrt(x^2+4y^2) dxdy$
Qui ho pensato di portare tutto in coordinate polari in questo modo (simile al modo in cui avevo risolto un altro integrale di superficie):
${(x=\rhocos\theta),(y=1/2\rhosen\theta),(z=\rho):}$
visto che $z=sqrt(x^2+4y^2)=sqrt(\rho^2cos^2\theta + rho^2sen^2\theta = \rho$
Gli intervalli saranno ${(0<=\theta<2\pi),(0<=\rho<=1):}$
Ho $J=|(\hat i,\hat j,\hat k),(cos\theta,1/2sen\theta,1),(-\rhosen\theta,1/2\rhocos\theta,0)|$
da cui : $\hat i*(-1/2\rhocos\theta)+\hat j*(-1/2\rhosen\theta)+\hat k*(1/2\rho)$
e quindi $|J|=sqrt(1/4\rho^2cos^2\theta+\rho^2sen^2\theta+1/4\rho^2)$
$|J|=1/2\rhosqrt(cos^2\theta+4sen^2\theta+1) = 1/2\rhosqrt(2+3sen^2\theta)$
L'integrale lo posso così scrivere come:
$int_0^{2\pi} d\theta int_0^1 (\rho^2cos^2\theta+4*\rho*1/4\rho^2sen^2\theta - 1/4\rho^2sen^2\theta * \rho)/\rho * 1/2 \rho sqrt(2+sen^2\theta) * d\rho$
$1/2 int sqrt(2+3sen^2\theta)* d\theta int \rho^2cos^2\theta + 3/4 \rho^3sen^2\theta d\rho$
$1/2 int sqrt(2+3sen^2\theta) * [\rho^3/3cos^2\theta + 3/4 \rho^4/4 sen^2\theta]_0^1 * d\theta$
$1/2 int sqrt(2+3sen^2\theta) * (1/3 cos^2\theta+3/16 sen^2\theta) * d\theta$
Sapete se ho fatto bene o dove ho sbagliato?
Ringrazio anticipatamente chi avrà voglia di seguir il problema e i passaggi
"Professore Malvagio":
Calcolare il flusso del vettore:
$\vec u (x,y,z) = x *\hat i+ zy* \hat j+y^2* \hat k$
attraverso la superficie ordinaria
$z = sqrt(x^2+4y^2)$ con $0<=z<=1$
considerando $cosn\hat z < 0 $
La superficie è un cono che ha come base, con $z = 1$, un ellissi di assi $1$ e $1/2$.
Il vettore normale a quella superficie è:
$[-+f'_x,-+f'_y,+-1]/sqrt(f'_x^2+f'_y^2+1)$ e visto che si vuole $cosn\hat z <0$ allora prendo questi segni $[+,+,-]$
$[x/sqrt(x^2+4y^2),(4y)/(x^2+4y^2),-1]/sqrt(f'_x^2+f'_y^2+1)$
Quindi, data la superficie S, mi ritrovo con:
$int int_S \vec u * \vec n dS$ con dS = $sqrt(f'_x^2+f'_y^2+1)$
$int int_S x * (x/sqrt(x^2+4y^2))+ zy * ((4y)/sqrt(x^2+4y^2))+ y^2*(-1) dxdy$
$int int_S (x^2+4zy^2-y^2(sqrt(x^2+4y^2)))/sqrt(x^2+4y^2) dxdy$
Qui ho pensato di portare tutto in coordinate polari in questo modo (simile al modo in cui avevo risolto un altro integrale di superficie):
${(x=\rhocos\theta),(y=1/2\rhosen\theta),(z=\rho):}$
visto che $z=sqrt(x^2+4y^2)=sqrt(\rho^2cos^2\theta + rho^2sen^2\theta = \rho$
Gli intervalli saranno ${(0<=\theta<2\pi),(0<=\rho<=1):}$
Ho $J=|(\hat i,\hat j,\hat k),(cos\theta,1/2sen\theta,1),(-\rhosen\theta,1/2\rhocos\theta,0)|$
da cui : $\hat i*(-1/2\rhocos\theta)+\hat j*(-1/2\rhosen\theta)+\hat k*(1/2\rho)$
e quindi $|J|=sqrt(1/4\rho^2cos^2\theta+\rho^2sen^2\theta+1/4\rho^2)$
$|J|=1/2\rhosqrt(cos^2\theta+4sen^2\theta+1) = 1/2\rhosqrt(2+3sen^2\theta)$
L'integrale lo posso così scrivere come:
$int_0^{2\pi} d\theta int_0^1 (\rho^2cos^2\theta+4*\rho*1/4\rho^2sen^2\theta - 1/4\rho^2sen^2\theta * \rho)/\rho * 1/2 \rho sqrt(2+sen^2\theta) * d\rho$
$1/2 int sqrt(2+3sen^2\theta)* d\theta int \rho^2cos^2\theta + 3/4 \rho^3sen^2\theta d\rho$
$1/2 int sqrt(2+3sen^2\theta) * [\rho^3/3cos^2\theta + 3/4 \rho^4/4 sen^2\theta]_0^1 * d\theta$
$1/2 int sqrt(2+3sen^2\theta) * (1/3 cos^2\theta+3/16 sen^2\theta) * d\theta$
Sapete se ho fatto bene o dove ho sbagliato?
Ringrazio anticipatamente chi avrà voglia di seguir il problema e i passaggi
Risposte
Provato col Teorema della divergenza?
Se lo applichi, ovviamente ti trovi con qualcosa in più data dal flusso di $\vec(u)$ attraverso la base superiore del cono; però questo flusso è facile da calcolare e da sottrarre al risultato ottenuto... Prova e fammi sapere.
Se lo applichi, ovviamente ti trovi con qualcosa in più data dal flusso di $\vec(u)$ attraverso la base superiore del cono; però questo flusso è facile da calcolare e da sottrarre al risultato ottenuto... Prova e fammi sapere.
Nu, ci provo se non mi addormento
Edit:
Il teorema della divergenza in pratica afferma che che il flusso di un campo vettoriale uscente da una superficie chiusa è eguagliato dall'integrale della divergenza del campo nella regione racchiusa dalla superficie.
Quindi $int int_\delV \vec F * \vec n dS = int int int_V d i v \vec F dxdydz$ giusto no?
Se non ho inteso male quindi devo calcolare la divergenza di $u$ ed integrarla nel cono.
$d i v \vec F = 1 + z + 0$
Quindi prendo quasi le stesse coordinate di prima:
${(x=\rhocos\theta),(y=1/2\rhosen\theta),(z=z):}$
con $|J|=1/2\rho$
e intervalli:
${(0<=\theta<=2\pi),(0<=z<=1),(0<=\rho<=z):}$
Mi ritrovo con questo integrale
$int_0^{2\pi} d\theta int_0^1 dz int_0^z (1+z) 1/2 \rho d\rho$
$\pi int_0^1 (1+z) z^2/2 dz$
E quindi:
$\pi/2 int_0^1 (z^2 + z^3) dz$
$\pi/2 [z^3/3+z^4/4]_0^1$
$\pi/2 (1/3+1/4)$
$\pi/2 (7/12) = 7/24 pi$
Questo ora rappresenta il flusso uscente dalla superficie del cono... quindi è il flusso uscente dalla superficie laterale + flusso uscente dalla base?
Edit:
Il teorema della divergenza in pratica afferma che che il flusso di un campo vettoriale uscente da una superficie chiusa è eguagliato dall'integrale della divergenza del campo nella regione racchiusa dalla superficie.
Quindi $int int_\delV \vec F * \vec n dS = int int int_V d i v \vec F dxdydz$ giusto no?
Se non ho inteso male quindi devo calcolare la divergenza di $u$ ed integrarla nel cono.
$d i v \vec F = 1 + z + 0$
Quindi prendo quasi le stesse coordinate di prima:
${(x=\rhocos\theta),(y=1/2\rhosen\theta),(z=z):}$
con $|J|=1/2\rho$
e intervalli:
${(0<=\theta<=2\pi),(0<=z<=1),(0<=\rho<=z):}$
Mi ritrovo con questo integrale
$int_0^{2\pi} d\theta int_0^1 dz int_0^z (1+z) 1/2 \rho d\rho$
$\pi int_0^1 (1+z) z^2/2 dz$
E quindi:
$\pi/2 int_0^1 (z^2 + z^3) dz$
$\pi/2 [z^3/3+z^4/4]_0^1$
$\pi/2 (1/3+1/4)$
$\pi/2 (7/12) = 7/24 pi$
Questo ora rappresenta il flusso uscente dalla superficie del cono... quindi è il flusso uscente dalla superficie laterale + flusso uscente dalla base?
Hai sbagliato gli estremi d'integrazione su $z$.
Devi integrare tra $rho$ ed $1$ per prendere la parte dentro al cono, altrimenti prendi la parte fuori.
Insomma:
$\int_C "div"\vec(u)(x,y,z) " d"x"d"y"d"z=\int_0^(2pi) \int_0^1 \int_rho^1 "div"\vec(u)(theta,rho,z) *rho/2 " d"theta"d"rho"d"z \quad$.
E poi sì, ti trovi un "pezzo" in più che è dato dal flusso di $\vec(u)$ attraverso la base del cono.
Però, visto che calcolare tale flusso è semplice (infatti la normale esterna alla base è il versore dell'asse $z$), puoi sempre calcolarlo a parte e sottrarlo al tuo risultato.
Devi integrare tra $rho$ ed $1$ per prendere la parte dentro al cono, altrimenti prendi la parte fuori.
Insomma:
$\int_C "div"\vec(u)(x,y,z) " d"x"d"y"d"z=\int_0^(2pi) \int_0^1 \int_rho^1 "div"\vec(u)(theta,rho,z) *rho/2 " d"theta"d"rho"d"z \quad$.
E poi sì, ti trovi un "pezzo" in più che è dato dal flusso di $\vec(u)$ attraverso la base del cono.
Però, visto che calcolare tale flusso è semplice (infatti la normale esterna alla base è il versore dell'asse $z$), puoi sempre calcolarlo a parte e sottrarlo al tuo risultato.
"Gugo82":
Hai sbagliato gli estremi d'integrazione su $z$.
Ora ricontrollo gli estremi e vedo di far la parte restante.Grazie Gugo
XDEdit: Ti scrivo il ragionamento per quegli estremi di $\rho$ e $z$ , visto che ancora nel mio cervello sono rispettivamente $(0,z)$ e $(0,1)$
(nella figura $r$ è $\rho$)
[asvg]xmin = -3;
xmax=3;
ymin=-3;
ymax = 3;
axes();
line([0,1],[1,1]);
line([0,0],[1,1]);
text([3,-0.2], "r" , below);
text([0,3], "z", left);[/asvg]
Io vedo questo triangolo che gira per $2\pi$. E l'area di questo triangolino si ha integrando $z$ tra $(0,1)$ e per ogni $z$ io integro $\rho$ tra $(0,z)$
Perchè sbaglio con questo ragionamento?
Non è sbagliato; stiamo solo guardando lo stesso dominio da punti di vista differenti.
Tu lo vedi normale a $z$, io normale a $rho$.
Scusami, ero stanco.
Tu lo vedi normale a $z$, io normale a $rho$.
Scusami, ero stanco.
Aauauauau, come si fa ad essere stanchi a quell'ora 
Comunque il mio problema ora è diventato di dimensioni astronomiche....
Il vettore normale alla superficie di base non è un vettore che ha per componente solo quella lungo z (che per quel che serve a me, è nel verso positivo delle z) e non dovrebbe essere costante?
Comunque il mio problema ora è diventato di dimensioni astronomiche....
Il vettore normale alla superficie di base non è un vettore che ha per componente solo quella lungo z (che per quel che serve a me, è nel verso positivo delle z) e non dovrebbe essere costante?
La normale esterna alla base è il versore di $z$, quindi l'unica componente del campo che contribuisce al frlusso attraverso la base è $y^2$.
Non mi pare che calcolare l'integrale di $y^2$ su quell'ellisse sia proibitivo, o no?
Non mi pare che calcolare l'integrale di $y^2$ su quell'ellisse sia proibitivo, o no?
Non penso, ma il mio problema ora è più di concetto e cerco di spiegarlo.
La normale di quella base è solo lungo $z$, lo si vede in figura o usando la regola della mano destra tra i versori che rappresentano gli assi $x$ e $y$. Il mio "problema" era pensare che tale vettore fosse costante lungo tutta la superficie. In che argomento/i sono carente per aver questa "idea"?
La normale di quella base è solo lungo $z$, lo si vede in figura o usando la regola della mano destra tra i versori che rappresentano gli assi $x$ e $y$. Il mio "problema" era pensare che tale vettore fosse costante lungo tutta la superficie. In che argomento/i sono carente per aver questa "idea"?
Certo che è costante.
Prendi un pezzo connesso di un piano qualsiasi; questa è una superficie regolarissima che ha versore normale costante (ed uguale al versore normale al piano). Questo fatto potrebbe essere provato rigorosamente, facendo un po' di conti*; però grossomodo è evidente.
La tua base è appunto una superficie regolare contenuta in un piano (quello d'equazione $z=1$) e quindi ha la proprietà detta sopra.
Nulla di sorprendente.
__________
* Ad esempio, se la superficie $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ è contenuta nel piano d'equazione $z=alpha x+beta y+gamma$, allora si ha $(x(u,v),y(u,v),alpha*x(u,v)+beta*y(u,v)+gamma)$; derivando parzialmente e svolgendo il prodotto scalare si trova che il vettore normale indotto dalla parametrizzazione è $(x_v*y_u-x_u*y_v)*(alpha,beta,-1)$ e da ciò si trae che il versore normale è $nu:=pm1/(\sqrt(alpha^2+beta^2+1))*(alpha,beta,-1)$ (e coincide col versore normale al piano!).
Prendi un pezzo connesso di un piano qualsiasi; questa è una superficie regolarissima che ha versore normale costante (ed uguale al versore normale al piano). Questo fatto potrebbe essere provato rigorosamente, facendo un po' di conti*; però grossomodo è evidente.
La tua base è appunto una superficie regolare contenuta in un piano (quello d'equazione $z=1$) e quindi ha la proprietà detta sopra.
Nulla di sorprendente.
__________
* Ad esempio, se la superficie $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ è contenuta nel piano d'equazione $z=alpha x+beta y+gamma$, allora si ha $(x(u,v),y(u,v),alpha*x(u,v)+beta*y(u,v)+gamma)$; derivando parzialmente e svolgendo il prodotto scalare si trova che il vettore normale indotto dalla parametrizzazione è $(x_v*y_u-x_u*y_v)*(alpha,beta,-1)$ e da ciò si trae che il versore normale è $nu:=pm1/(\sqrt(alpha^2+beta^2+1))*(alpha,beta,-1)$ (e coincide col versore normale al piano!).
Niente, sto prendendo a craniate il muro portante di casa
Rispetto alla dimostrazione che hai scritto io ho di facile che $z=1$ e che quindi mi ritrovo la seguente superficie(se uso ad esempio le coordinate polari che ho usato prima per esprimere $x^2+4y^2=1$):
$f(\rho,\theta)=(\rhocos\theta,1/2\rhosen\theta,1)$
$f'_\rho = (cos\theta, 1/2 sen\theta , 0)$
$f'_\theta = (-\rhosen\theta, 1/2\rhocos\theta,0)$
$\vec n=\hat k * (1/2\rho)$
Sbaglio a considerare questo come vettore normale? Perchè di costante ha solo la frazione XD
Rispetto alla dimostrazione che hai scritto io ho di facile che $z=1$ e che quindi mi ritrovo la seguente superficie(se uso ad esempio le coordinate polari che ho usato prima per esprimere $x^2+4y^2=1$):
$f(\rho,\theta)=(\rhocos\theta,1/2\rhosen\theta,1)$
$f'_\rho = (cos\theta, 1/2 sen\theta , 0)$
$f'_\theta = (-\rhosen\theta, 1/2\rhocos\theta,0)$
$\vec n=\hat k * (1/2\rho)$
Sbaglio a considerare questo come vettore normale? Perchè di costante ha solo la frazione XD
Sisì, Mach, hai fatto bene i conti; ma io parlavo di versore normale e non lo usavo per fare conti, solo per rendermi conto di quale componente del campo considerare.
Davvero non sai quanto mi si sta imbrogliando in testa per sta cavolo di superficie piana XD Non ci posso credere che mi sto incasinando su una cosa del genere XDDD
Quindi un vettore $\vec u = (3x,2y,z)$ che è così per tutto un piano è costante per tutto il piano, ma anche un vettore $\vec v = (1,1,1)$ che è così per tutto un piano è costante per tutto il piano?
Quindi un vettore $\vec u = (3x,2y,z)$ che è così per tutto un piano è costante per tutto il piano, ma anche un vettore $\vec v = (1,1,1)$ che è così per tutto un piano è costante per tutto il piano?
"Mach":
Davvero non sai quanto mi si sta imbrogliando in testa per sta cavolo di superficie piana XD Non ci posso credere che mi sto incasinando su una cosa del genere XDDD
Quindi un vettore $\vec u = (3x,2y,z)$ che è così per tutto un piano è costante per tutto il piano, ma anche un vettore $\vec v = (1,1,1)$ che è così per tutto un piano è costante per tutto il piano?
Come fa il vettore $u=(3x, 2y, z)$ ad essere costante? Non dipende dal punto???? O c'è qualcosa che non ho capito io?
Magari è posta male, ma la mia era una domanda XD
So che cambia punto a punto ma la funzione che rappresenta quella componente è la stessa. Per questo chiedevo
So che cambia punto a punto ma la funzione che rappresenta quella componente è la stessa. Per questo chiedevo
Ah no, ok. Guarda, in realtà, quando hai un vettore definito da componenti variabili su di una superficie, quello che stai definendo è un "campo di vettori", cioè una funzione che, punto per punto, rappresenta il vettore da te cercato (detto in parole molto molto povere)!
Vabbuò, Mach, ti ho incasinato io e me ne scuso.
Rimedio facendo un po' di conti.
Il flusso attraverso l'ellisse $E:=\{ (x,y,z)\in RR^3: x^2+4y^2<=1 " e " z=1\}$ si calcola come segue: il vettore normale indotto dalla parametrizzazione in coordinate polari:
$\{(x=rho*cos theta),(y=1/2rho*sin theta),(z=1):}$
è $n:=(0,0,1/2 rho)$, quindi la componente normale del campo $vec(u)(rho,theta,z)$ è $vec(u) \circ n=(1/2 rho*sin theta)^2*1/2rho=1/8rho^3*sin^2theta$; ne viene che il flusso di $\vec(u)$ attraverso $E$ è:
$\int_0^(2pi) \int_0^1 1/8rho^3*sin^2theta" d"theta"d"rho=[1/32 rho^4]_0^1*[theta/2 - 1/4 * sin(2theta)]_0^(2pi)=pi/(32)$
ovviamente se non ho sbagliato i conti (cosa sempre possibile, perchè odio farli!).
Rimedio facendo un po' di conti.
Il flusso attraverso l'ellisse $E:=\{ (x,y,z)\in RR^3: x^2+4y^2<=1 " e " z=1\}$ si calcola come segue: il vettore normale indotto dalla parametrizzazione in coordinate polari:
$\{(x=rho*cos theta),(y=1/2rho*sin theta),(z=1):}$
è $n:=(0,0,1/2 rho)$, quindi la componente normale del campo $vec(u)(rho,theta,z)$ è $vec(u) \circ n=(1/2 rho*sin theta)^2*1/2rho=1/8rho^3*sin^2theta$; ne viene che il flusso di $\vec(u)$ attraverso $E$ è:
$\int_0^(2pi) \int_0^1 1/8rho^3*sin^2theta" d"theta"d"rho=[1/32 rho^4]_0^1*[theta/2 - 1/4 * sin(2theta)]_0^(2pi)=pi/(32)$
ovviamente se non ho sbagliato i conti (cosa sempre possibile, perchè odio farli!
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