Flusso Attraverso una superficie !!!
Sia S la superficie Cilindrica avente come direttrice la curva del piano (y,z) di equazione \( y^2+z^2=4 \) con \( y\geq 0 \) e generatrici parallele all'asse x comprese tra i piani \( x=0 \) e \( x=3 \) , orientata in modo che la prima componente del versore normale sia negativa. Calcolare il flusso del vettore \( v(x,y,z) = x^3z^2 (i) +xy (j) \) attraverso S.
Help :
Ciao ragazzi questo è il testo del problema, ho iniziato parametrizzando la semicirconferenza
\( y=\sqrt{4-z^2} \) ponendo z=t e x=x
poi ho calcolato l'elemento d'area nds = \( (0,1,t/(\sqrt{4-t^2)} ) \)
A questo punto sapendo dove varia sia t che x posso impostare l'integrale del flusso e risolvere ?
il procedimento è corretto?
nel caso potete darmi una mano e farmi capire dove sbaglio ? Grazie mille. =)
Help :
Ciao ragazzi questo è il testo del problema, ho iniziato parametrizzando la semicirconferenza
\( y=\sqrt{4-z^2} \) ponendo z=t e x=x
poi ho calcolato l'elemento d'area nds = \( (0,1,t/(\sqrt{4-t^2)} ) \)
A questo punto sapendo dove varia sia t che x posso impostare l'integrale del flusso e risolvere ?
il procedimento è corretto?
nel caso potete darmi una mano e farmi capire dove sbaglio ? Grazie mille. =)
Risposte
E' un semicilindro di raggio 2 e altezza 3 che esce dal piano yz (y positive).
La direzione è in senso orario rispetto all'asse delle x.
Per la parametrizzazione io userei le coordinate cilindriche in cui X è l'altezza.
La direzione è in senso orario rispetto all'asse delle x.
Per la parametrizzazione io userei le coordinate cilindriche in cui X è l'altezza.
Quindi:
\( \begin{cases} x=x \\ y=Rcos\Theta \\ z=Rsen\Theta \end{cases} \)
il versore normale a tale superficie, sarebbe, il prodotto vettoriale tra la derivata parziale rispetto ad x e quella rispetto a teta della sup. parametrica che ho scritto prima, giusto?
\( \frac{\partial^{}S}{\partial x} \times \frac{\partial^{}S}{\partial \Theta } \)
\( \begin{cases} x=x \\ y=Rcos\Theta \\ z=Rsen\Theta \end{cases} \)
il versore normale a tale superficie, sarebbe, il prodotto vettoriale tra la derivata parziale rispetto ad x e quella rispetto a teta della sup. parametrica che ho scritto prima, giusto?
\( \frac{\partial^{}S}{\partial x} \times \frac{\partial^{}S}{\partial \Theta } \)
Giusto, ma non hai scritto questo. f non si sa cosa fa li.
scusa è la derivata della superficie parametrizzata rispetto a tetha !!!
Quindi ora so che:
\( 0\leq R\leq 2 \)
\( -\pi/2 \leq \Theta \leq \pi /2 \)
\( 0 \leq x \leq 3 \)
Lo Jacobiano è R
ndS= \( (0,R\cos \Theta ,R\sin \Theta ) \)
Sostituisco la sup. parametrizzata nel campo vettoriale e moltiplico il tutto per la normale alla sup. e lo Jacobiano, e poi svolgo l'integrale triplo !!! corretto ?
Quindi ora so che:
\( 0\leq R\leq 2 \)
\( -\pi/2 \leq \Theta \leq \pi /2 \)
\( 0 \leq x \leq 3 \)
Lo Jacobiano è R
ndS= \( (0,R\cos \Theta ,R\sin \Theta ) \)
Sostituisco la sup. parametrizzata nel campo vettoriale e moltiplico il tutto per la normale alla sup. e lo Jacobiano, e poi svolgo l'integrale triplo !!! corretto ?
Be io avrei applicato il teorema della divergenza.
Calcolavi la divergenza del vettore, che e' un numero (quindi solo componente z) poi conoscevi il volume del semi cilindro di raggio 2 e altezza 3, quindi manco ti serviva calcolato con l'integrale.
Comunque normalizza il vettore ottenuto, e fai come hai detto
Di solito quando ti danno il segno delle componenti della normale, vuol dire che è meglio usare la divergenza, altrimenti con il metodo che usi te lo ricavi tu il segno.
Calcolavi la divergenza del vettore, che e' un numero (quindi solo componente z) poi conoscevi il volume del semi cilindro di raggio 2 e altezza 3, quindi manco ti serviva calcolato con l'integrale.
Comunque normalizza il vettore ottenuto, e fai come hai detto
Di solito quando ti danno il segno delle componenti della normale, vuol dire che è meglio usare la divergenza, altrimenti con il metodo che usi te lo ricavi tu il segno.
"Laika1969":
Calcolavi la divergenza del vettore, che e' un numero (quindi solo componente z) [...]
A me pare che $text(div) v(x,y,z) = 3x^2 z^2 + x$, che tutto è meno che costante.
Inoltre, la divergenza è uno scalare, quindi non ha “componenti”.
infatti non è una costante e non si riduce al calcolo di un volume.
controllavo ora =)
controllavo ora =)
"gugo82":
[quote="Laika1969"]Calcolavi la divergenza del vettore, che e' un numero (quindi solo componente z) [...]
A me pare che $text(div) v(x,y,z) = 3x^2 z^2 + x$, che tutto è meno che costante.
Inoltre, la divergenza è uno scalare, quindi non ha “componenti”.[/quote]
Gugo82 quindi il mio procedimento è corretto ? potresti dare anche tu un'occhiata Grazie.
Intendevo che poi nel l'integrale trovava le componenti e un volume facile da calcolare (ho detto z senza guardare, scusate)
"Laika1969":
Intendevo che [...]
Le persone adulte intendono quanto scrivono e scrivono quanto intendono.
[xdom="gugo82"]
"Laika1969":
(ho detto z senza guardare, scusate)
E ciò è male, perché eri stato esplicitamente avvisato di leggere attentamente ciò che veniva scritto nei thread cui rispondevi.[/xdom]
"mandraculaita1":
Quindi:
\( \begin{cases} x=x \\ y=Rcos\Theta \\ z=Rsen\Theta \end{cases} \)
il versore normale a tale superficie, sarebbe, il prodotto vettoriale tra la derivata parziale rispetto ad x e quella rispetto a teta della sup. parametrica che ho scritto prima, giusto?
\( \frac{\partial^{}S}{\partial x} \times \frac{\partial^{}S}{\partial \Theta } \)
Esatto e quelli che hai scritto dopo sono gli intervalli di integrazione..ma calcola la divergenza, poi effettui le sostituzioni con la parametrizzazione + lo jacobiano. E' un triplo integrale davvero banale! Davvero, è uno dei più standard che possono darti.
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