Flusso attraverso una superficie
Ciao a tutti, ho $f(x,y)=sqrt(9-x^2/4-y^2)$, $(x,y)inD:={(x,y)inRR^2:x^2+4y^2<=4}$ e devo calcolare $int_S F*n dsigma$ dove $SsubRR^3$ è la superficie del grafico di $f$, $n$ è la normale con terza componente positiva, e
$F(x,y,z)=((4xz),(xyz),(y+3))$
Ho provato a calcolarlo con la definizione ma sia con la parametrizzazione naturale $(x,y)rarr(u,v)$ sia con le coordinate ellittiche non me la cavo proprio più.
L'unica strada fattibile mi sembra il teorema della divergenza, poiché $nabla* F=z(4+x)$ è una funzione abbastanza facile da integrare. Però ho problemi a risolvere l'integrale triplo...
Penso che convenga tenere $z$ come prima variabile di integrazione, quindi sarebbe qualcosa del tipo $int int_D [int nabla*Fdz] dxdy$. Siccome $0<=z<=sqrt(9-x^2/4-y^2)$, allora l'integrale dovrebbe essere
$int int_D (4+x) [int_0^(sqrt(9-x^2/4-y^2)) zdz] dxdy$ da cui poi si ha $int int_D 1/2(9-x^2/4-y^2)(4+x)dxdy$
Il problema è che introducendo le coordinate ellittiche il dominio di integrazione è semplice, ma l'integranda per niente. Infatti se $((x),(y))=((rcost),(rsint))$ con $rin[0,1]$ e $thetain[0,2pi]$ si avrebbe $1/2int_0^(2pi) int_0^1 1/2(9-1/4(r^2cos^2t-r^2sin^2t)(4+rcost) r)drdt$
Qualche suggerimento?
$F(x,y,z)=((4xz),(xyz),(y+3))$
Ho provato a calcolarlo con la definizione ma sia con la parametrizzazione naturale $(x,y)rarr(u,v)$ sia con le coordinate ellittiche non me la cavo proprio più.
L'unica strada fattibile mi sembra il teorema della divergenza, poiché $nabla* F=z(4+x)$ è una funzione abbastanza facile da integrare. Però ho problemi a risolvere l'integrale triplo...
Penso che convenga tenere $z$ come prima variabile di integrazione, quindi sarebbe qualcosa del tipo $int int_D [int nabla*Fdz] dxdy$. Siccome $0<=z<=sqrt(9-x^2/4-y^2)$, allora l'integrale dovrebbe essere
$int int_D (4+x) [int_0^(sqrt(9-x^2/4-y^2)) zdz] dxdy$ da cui poi si ha $int int_D 1/2(9-x^2/4-y^2)(4+x)dxdy$
Il problema è che introducendo le coordinate ellittiche il dominio di integrazione è semplice, ma l'integranda per niente. Infatti se $((x),(y))=((rcost),(rsint))$ con $rin[0,1]$ e $thetain[0,2pi]$ si avrebbe $1/2int_0^(2pi) int_0^1 1/2(9-1/4(r^2cos^2t-r^2sin^2t)(4+rcost) r)drdt$
Qualche suggerimento?
Risposte
"Gustav Wittgenstein":
L'unica strada fattibile mi sembra il teorema della divergenza ...
Quando la superficie è aperta sarebbe meglio evitarlo.
"Gustav Wittgenstein":
... con la parametrizzazione naturale ...
Non mi sembra impossibile:
Parametrizzazione superficie
$\{(x=u),(y=v),(z=sqrt(9-u^2/4-v^2)):}$
Versore normale
$vecn=|(veci,vecj,veck),(1,0,(-u)/(4sqrt(9-u^2/4-v^2))),(0,1,(-v)/sqrt(9-u^2/4-v^2))|=u/(4sqrt(9-u^2/4-v^2))veci+v/sqrt(9-u^2/4-v^2)vecj+veck$
Campo vettoriale
$vecF=4usqrt(9-u^2/4-v^2)veci+uvsqrt(9-u^2/4-v^2)vecj+(v+3)veck$
Prodotto scalare
$vecF*vecn=u^2+uv^2+v+3$
Flusso
$\int_{-1}^{1}dv\int_{-2sqrt(1-v^2)}^{2sqrt(1-v^2)}du(u^2+uv^2+v+3)=4/3\int_{-1}^{1}dv(-4v^2+3v+13)sqrt(1-v^2)$
Wow, perfetto! Avevo fatto un errore stupido nel calcolo del determinante, che ha mandato tutto a quel paese... anche se non stupido come fare la divergenza su una superficie aperta 
Comunque, una cosa: nell'ultimo integrale hai per caso scambiato i ruoli di $u$ e $v$? Non dovrebbe essere al contrario?
Comunque, una cosa: nell'ultimo integrale hai per caso scambiato i ruoli di $u$ e $v$? Non dovrebbe essere al contrario?
"Gustav Wittgenstein":
... nell'ultimo integrale hai per caso scambiato i ruoli di $u$ e $v$ ...
Non mi pare.
Scusami, sono stupido io! Grazie per l'aiuto.
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