Flusso attraverso una superficie.

[Usernamer1]

Salve a tutti, ho il seguente esercizio:
data la superficie $ S={(x,y,z)| x^2+y^2+z^2=4, y>=0} $ orientata in modo che il versore normale in $(0,2,0)$ coincida con il versore $e_2 = (0, 1, 0)$ e il campo $ F(x,y,z)=(x^2+z^2,x^2+z^2,x^2+z^2) $ calcolarne il flusso

Ho provato col th. della divergenza.
divF=2x+2z quindi il flusso dovrebbe essere $ int int int (2x+2z) dx dy dz =2intintintx*dxdydz+2intintintz*dxdydz $ ma poiché entrambi questi ultimi integrali corrispondono alle coordinate X e Z del baricentro (moltiplicate per il volume) della mezza sfera le quali sono 0, il tutto dovrebbe dare 0.
Il testo dice che deve risultare $ 8pi $
Dove sbaglio?

(Ho provato anche a svolgere il calcolo esplicitamente in coordinate polari che dovrebbe essere $ 2int_(0)^(pi) d theta int_(0)^(pi) dphi int_(0)^(2) (rhosenphicostheta+rhocosphi)rho^2senphi drho $ ma continua a risultarmi 0)

[Usernamer1]

ah ok credo di aver capito! In pratica nei miei calcoli ho fatto come se la superficie fosse chiusa, cioè come se ci fosse anche la "base piana" della sfera sul piano y=0 invece quella non è parte della superficie dico bene?
Grazie mille!