Flusso attraverso una superficie

[asabasa]

Ho una serie di esercizi con il flusso senza soluzione,
mi aiutate a capire se ho fatto bene?

Si consideri il campo vettoriale \((0, 0, z)\) definito in tutto \(R^3\) . Si calcoli il
flusso di tale campo attraverso la superficie di equazione:
\(z = x^2 + y^2\) con \(x2 + y2 ≤ 1\) orientata in modo che il versore normale abbia la terza
componente positiva.
Allora: \(z = x^2 + y^2\) è un paraboloide e \(x2 + y2 ≤ 1\) un cilindro,
pongo come parametrizzazione:
${(x=x),(y=y),(z=x^2+y^2):}$

Calcolo la normale: $((1,0),(0,1),(2x,2y))$ \(= (-2x,-2y,1) \)
l'ultima componente è maggiore di \(0\) quindi va bene.

E trovo l'integrale doppio
$int int (x^2 +y^2) dxdy$

Parametrizzo con le coordinate polari
${(x=rhocostheta),(y=rhosentheta):}$

con $0<=rho<=1$ e $0
$int_0^{2pi} d theta int_0^1 rho(rho^2cos^2theta +rho^2sen^2theta) drho=int_0^{2pi} d theta int_0^1 rho^3 drho =[theta]_0^{2pi}[rho^4/4]_0^1= 2pi(1/4)= pi/2 $

[asabasa]

Si hai ragione, devo sempre precisare il dominio.

Si calcoli il flusso del campo (0, 0, z) attraverso la calotta sferica S
$z=sqrt(1 − x^2 − y^2)$
al variare di \((x, y)\) nel cerchio C con centro nell’origine e raggio 1; si assuma che
S sia orientata in modo tale che il versore normale abbia la terza componente
non negativa.

Allora premetto che dopo che ho provato a svolgerlo ho trovato lo stesso esercizio qui sul forum :
viewtopic.php?t=43706&p=321431
Me nella risposta finale mancano dei passaggi e quindi non so se ho capito bene.

Comunque a quanto ho capito posso risolverlo in vari modi

${(x=x),(y=y),(z=sqrt(1-x^2-z^2)):}$

Dalla matrice $((1,0),(0,1),((x/{sqrt(1-x^2-z^2)},y/{sqrt(1-x^2-z^2)))$
Trovo il vettore normale : $(x/{sqrt(1-x^2-z^2)},y/{sqrt(1-x^2-z^2)},1)$

trovo quindi l'integrale:

$int int sqrt(1-x^2-y^2) dxdy$

Trasformato con le coordinate polari:

${(x=rhocostheta),(y=rhosentheta):}$
$0 $0
$int_0^{2pi} d{theta} int_0^{1} rhosqrt(1-rho^2) drho = [theta]_0^{2pi}[rho^2-1]_0^1 = 3/2 pi$

Oppure dall'inizio avrei potuto parametrizzare con le coordinate sferiche:

${(x=rhosenthetacosphi),(y=rhosenthetasenphi),(z=rhocostheta):}$

$J=rho^2sentheta$

$0 $0 $0
$int_0^1 int_0^pi int_0^{pi/2} rhocostheta rho^2sentheta$

e non mi trovo...

Oppure avrei potuto applicare il teorema della divergenza,
che come integrale finale ha
$int_0^1 drho int_0^pi dphi int_0^{pi/2} rho^2sentheta d theta $

oppure avrei potuto usare direttamente il volume giusto?

PS: Quando mi conviene usare il teorema della divergenza?
Quando mi serve trovare il versore normale? nel caso in cui mi si chiede il rotore?

[asabasa]

Io non ho scritto tutti i passaggi e sicuramente sono stata molto meno accurata di te,
però mi sembra che soprattutto nel primo metodo ho fatto pressapoco quello che hai
fatto tu solo che io la parametrizzazione l'ho fatta in seguito (come tra l'altro ho fatto
anche nel primo esercizio che ho postato).
Secondo te è svolto bene?
O comunque sarebbe meglio scrivere tutti i passaggi come hai fatto tu?
Purtroppo quest'argomento l'abbiamo fatto l'ultimo giorno del corso di analisi II (teoria ed esercizi insieme)
e quindi ho poco materiale e anche pochi esempi.

In realtà anche col secondo metodo mi trovo (o no?!)
Il fatto del tappo inferiore mi ha spiazzato un po'!

Mi sa che ho toppato proprio usando le coordinate sferiche!
Ma immagino che sicuramente sia fattibile...

Grazie mille, sei preparatissimo (già lo sapevi ma ti faccio i complimenti comunque!) e sei stato gentilissimo
A presto con altri esercizi