FLUSSO ATTRAVERSO SUPERFICIE DI ROTAZIONE LOGARITMO
Salve ragazzi, chiedo aiuto per un esercizio riguardo il calcolo di un flusso attraverso la superficie di rotazione della curva z=lnx con x€[1,e], attorno all'asse z di un angolo giro,orientata nel verso usuale del campo $ F(x,y,z)=((x^2+2xy)/(x^2+y^2),(-x^2)/(x^2+y^2),0) $ .
Ho difficoltà nella parametrizzazione della superficie, che ho scritto come $ (x,y,z)=(rcost,rsent,lnr) t€[0,2pi], r€[1,e] $ .
È corretto ?
Dopo di che ho calcolato il flusso tramite la definizione e mi viene 0.... È possibile ?
Ho anche un altro dubbio: quabdo vado a calcolare l'integrale doppio sul dominio di r e t è necessario inserire il determinante della matrice jacobiana oppure no ? La teoria mi dice che questo va inserito ogni qualvolta viene effettuato un cambiamento di variabili, solo he io non ho chiaro se quando compio una parametrizzazione sto cambiando le variabili o meno ....
Chiedo scusa per la pazienza, grazie !!!
Ho difficoltà nella parametrizzazione della superficie, che ho scritto come $ (x,y,z)=(rcost,rsent,lnr) t€[0,2pi], r€[1,e] $ .
È corretto ?
Dopo di che ho calcolato il flusso tramite la definizione e mi viene 0.... È possibile ?
Ho anche un altro dubbio: quabdo vado a calcolare l'integrale doppio sul dominio di r e t è necessario inserire il determinante della matrice jacobiana oppure no ? La teoria mi dice che questo va inserito ogni qualvolta viene effettuato un cambiamento di variabili, solo he io non ho chiaro se quando compio una parametrizzazione sto cambiando le variabili o meno ....
Chiedo scusa per la pazienza, grazie !!!
Risposte
Allora... per prima cosa ti ringrazio tantissimo per la dedizione con la quale mi hai risposto, non lo credevo.
La definizione di flusso e di integrale di superficie ci è stata presentata dal professore, che segue il libro (marcellini sbordone, credo sia anche abbastanza famoso tra i libri di analisi matematica 2), in modo decisamente più meccanico, e credo che la fonte della mia confusione sia anche questa. Ho fatto però alcune ricerche ed ho capito anche la definizione che comprende il prodotto vettoriale, che è anche più ovvia ragionandoci.
Insomma, più o meno meccanicamente la maniera in cui ero arrivata al calcolo del flusso era la stessa, cioè un integrale doppio sul dominio delle variabili che utilizzo per parametrizzare e dunque anche il mio risultato era corretto, soltanto che non credo minimamente che il mio problema sia il risultato di cui mi frega veramente poco bensì la maniera in cui procedo, che è molto "incerta".
Mi è molto chiaro anche quello che mi hai spiegato, cioè che il determinante della matrice jacobiana va inserito soltanto se applico una trasformazione tra diversi sistemi di coordinate, soltanto che (scusami se continuo a porre domande, magari anche sciocche) io non riesco a capire se una parametrizzazione " è un cambiamento di variabili " o meno.
Insomma, credo che il mio problema sia il capire effetivamenteche cosa è la parametrizzazione, perchè è lì il mio scoglio.
Ti propongo un altro esempio : stavo calcolando il flusso attraverso una mezza superficie sferica nel semiasse positivo delle z e non sapevo se parametrizzarla come $ (x=x, y=y, z=root(2)((r^2-x^2-y^2))) $ ( che se ho capito bene dovrebbe essere una parametrizzazione come "superficie grafico" ) oppure, come io avrei proceduto naturalmente, utilizzando le coordinate sferiche.
Il professore mi ha detto che se avessi utilizzato direttamente le coordinate sferiche allora avrei dovuto inserire nel calcolo dell'integrale doppio il determinante jacobiano,(perchè, associandolo a quello che mi hai spiegato, era un effettivo cambiamento di variabili) e mi ha suggerito invece di procedere con la parametrizzazione secondo superficie grafico e in quel modo scrivere la definizione di flusso, e solo successivamente passare a coordinate polari "piane" per parametrizzare il cerchio di base per risolvere l'integrale che mi era venuto, ovviamente inserendo il det. jacobiano.
(qual è la vera differenza tra le due parametrizzazioni ??????? quando usare l'una o l'altra???)
Alla fine io credo sia esattamente la stessa cosa con l'aggiunta soltanto di un passaggio (anche se il calcolo del prodotto vettoriale nella definizione di integrale di superficie mi si semplificherebbe molto) perchè alla fine sempre dovrei ricader nell' indicare questo cerchio di "base" della sfera in qualche modo che mi consenta di operarci, prima o dopo.
Scusami se continuo a fare domande, mi aiuteresti non solo a fare l'esame di cui non mi frega niente ma soprattutto a capire cosa sto facendo.
Grazie !
La definizione di flusso e di integrale di superficie ci è stata presentata dal professore, che segue il libro (marcellini sbordone, credo sia anche abbastanza famoso tra i libri di analisi matematica 2), in modo decisamente più meccanico, e credo che la fonte della mia confusione sia anche questa. Ho fatto però alcune ricerche ed ho capito anche la definizione che comprende il prodotto vettoriale, che è anche più ovvia ragionandoci.
Insomma, più o meno meccanicamente la maniera in cui ero arrivata al calcolo del flusso era la stessa, cioè un integrale doppio sul dominio delle variabili che utilizzo per parametrizzare e dunque anche il mio risultato era corretto, soltanto che non credo minimamente che il mio problema sia il risultato di cui mi frega veramente poco bensì la maniera in cui procedo, che è molto "incerta".
Mi è molto chiaro anche quello che mi hai spiegato, cioè che il determinante della matrice jacobiana va inserito soltanto se applico una trasformazione tra diversi sistemi di coordinate, soltanto che (scusami se continuo a porre domande, magari anche sciocche) io non riesco a capire se una parametrizzazione " è un cambiamento di variabili " o meno.
Insomma, credo che il mio problema sia il capire effetivamenteche cosa è la parametrizzazione, perchè è lì il mio scoglio.
Ti propongo un altro esempio : stavo calcolando il flusso attraverso una mezza superficie sferica nel semiasse positivo delle z e non sapevo se parametrizzarla come $ (x=x, y=y, z=root(2)((r^2-x^2-y^2))) $ ( che se ho capito bene dovrebbe essere una parametrizzazione come "superficie grafico" ) oppure, come io avrei proceduto naturalmente, utilizzando le coordinate sferiche.
Il professore mi ha detto che se avessi utilizzato direttamente le coordinate sferiche allora avrei dovuto inserire nel calcolo dell'integrale doppio il determinante jacobiano,(perchè, associandolo a quello che mi hai spiegato, era un effettivo cambiamento di variabili) e mi ha suggerito invece di procedere con la parametrizzazione secondo superficie grafico e in quel modo scrivere la definizione di flusso, e solo successivamente passare a coordinate polari "piane" per parametrizzare il cerchio di base per risolvere l'integrale che mi era venuto, ovviamente inserendo il det. jacobiano.
(qual è la vera differenza tra le due parametrizzazioni ??????? quando usare l'una o l'altra???)
Alla fine io credo sia esattamente la stessa cosa con l'aggiunta soltanto di un passaggio (anche se il calcolo del prodotto vettoriale nella definizione di integrale di superficie mi si semplificherebbe molto) perchè alla fine sempre dovrei ricader nell' indicare questo cerchio di "base" della sfera in qualche modo che mi consenta di operarci, prima o dopo.
Scusami se continuo a fare domande, mi aiuteresti non solo a fare l'esame di cui non mi frega niente ma soprattutto a capire cosa sto facendo.
Grazie !
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