Flusso attraverso superficie

[lex1531]

sia $S$ la superficie che si ottiene dalla rotazione intorno all asse z della curva di equazione $ z=-cosx , x in [pi , 2 pi] $
sia poi $ Sigma $ la parte di $S$ costituita dai punti aventi ascisse ed ordinate positive.

posto $ v(x,y,z)= i/(sqrt (x^2 + y^2))- k/(sqrt (x^2 + y^2)) $ calcolare $ int_Sigma v \cdot n dsigma $

allora il grafico somiglia ad una campana per capirci, e ne prendo solo la parte compresa tra x ed y

non posso usare il teorema della divergenza perche non è una superficie chiusa, mi devo calcolare quindi la normale alla superficie giusto?
se parametrizzo la superficie e la trasformo in coordinate cilindriche ho: $ Sigma { ( x=t cos tau ),( y= t sen tau ),( z=-cos t ):} $ con $ t in [pi,2pi]; tau in [0,pi/2 ] $

da qui chiedo:

devo costruirmi la matrice $ P_t xx P_tau = | ( costau , sen tau , sent ),( -tsentau , tcostau , 0 ) | $
per poi ricavarmi con i determinanti: $ i(-tsentcostau)-j(tsentsentau)+k(tcos^2tau+tsen^2tau) $
ed ottengo $ v_1=-tsentcostau ; v_2=-tsentsentau ; v_3=t $

ed ora che me ne faccio?

[Quinzio]

Ora devi calcolare il versore $\bb\hat n$ partendo dal corrispondente vettore $\bbn$ e impostare l'integrale che ha come dominio la proiezione $\Omega$ di $\Sigma$ sul piano xy.

Ovvero

$\int_(\Omega) (\bbv \cdot \bb\hatn)/(\bb\hatk \cdot \bb\hat n)d\omega$

Considera che $1//(\bb\hatk \cdot \bb\hat n)$ è lo jacobiano che interviene nella trasformazione da $\Sigma$ a $\Omega$, ovvero

$d\sigma = 1/(\bb\hatk \cdot \bb\hat n) d\omega$