Flusso attraverso superfici
calcolare il flusso del campo $u(x,y,z)x*i-y*k$ attraverso la superficie di equazione $z=4+xy$ che si proietta nel rettangolo $[1,2]*[0,1]$ orientata in modo che la terza compnente del versore normale sia negativa.
Potete spiegarmi come devo interpretare il fatto che la superficie si "proietta" in quel rettangolo??
Potete spiegarmi come devo interpretare il fatto che la superficie si "proietta" in quel rettangolo??
Risposte
eh serve a dirti quali sono gli estremi dell' integrale (doppio se usi il prodotto scalare, triplo se usci la divergenza) in x e y..
e per ricavare tali estremi come devo fare??
devo fare un sistema ?
devo fare un sistema ?
scusa non ti capisco.. mettiamo che usi il metodo del prodotto scarare tra il campo vettoriale e il vettore normale. Dopo non devi fare l' integrale in x e y della proiezione della superficie sul piano xy ? in questo caso la proiezione è data da: $1 < x < 2, 0 < y < 1$
ho capito ho capito...
solo un'altra cosa scusami stefano 89...poichè ho un pò di confusione in testa e sul ibro è spiegato in manier apoco chiara.. potresti farmi un riepilogo veloce di come calcolare il flusso attraverso una superfici orientata di un campo vettoriale??
grazie mille.
solo un'altra cosa scusami stefano 89...poichè ho un pò di confusione in testa e sul ibro è spiegato in manier apoco chiara.. potresti farmi un riepilogo veloce di come calcolare il flusso attraverso una superfici orientata di un campo vettoriale??
grazie mille.
mmh è un pò lungo ma ci provo. Ci sono 2 metodo come già detto:
Primo metodo (integrale doppio):
1- trovi una parametrizzazione per la tua superficie, in questo caso puoi esare le parametriche del tipo: $r = (x, y, 4 + xy)$ perchè Z è già espresso come funzione di x e y, quindi ti viene risparmiato questo lavoro..
2- trovi il versone normale della superficie: fai la derivata in x e y di $r$, e dopo di che ne fai il prodotto vettoriale. Il senso sta nel fatto che: le derivate sono tangenti alla superficie, se ne fai il prodotto vettoriale, troverai certamente un vettore normale alle derivate e quindi anche alla superficie. Quindi: $\sigma = r_x x r_y$
3- La parte finale. imposti un integrale doppio del tipo: $\int\int_{P} dxdy$ cioé: integrale doppio su P ( proiezione del superficie di cui hai trovato il versone normale sul piano xy), di un prodotto scalare tra il campo vettoriale in cui hai sostituito la parametrizzazione usata, per il versore normale.
Secondo Metodo (uso della divergenza):
1- trovi la divergenza di F(x,y,z)
2- Ne fai l' integrale TRIPLO. La differenza sta nel fatto che devi trovarti anche gli estremi in integrazione di Z. Dovresti fare il sistema tra $z = 4 + xy$ e il rettangolo in xy per trovare gli estremi. In questo caso mi sembra molto più comodo il primi metodo, ma quando la dvergenza del campo diventa molto semplice, o addirittura nulla, ti conviene usare il econdo metodo..
Credo di aver detto tutto..
Primo metodo (integrale doppio):
1- trovi una parametrizzazione per la tua superficie, in questo caso puoi esare le parametriche del tipo: $r = (x, y, 4 + xy)$ perchè Z è già espresso come funzione di x e y, quindi ti viene risparmiato questo lavoro..
2- trovi il versone normale della superficie: fai la derivata in x e y di $r$, e dopo di che ne fai il prodotto vettoriale. Il senso sta nel fatto che: le derivate sono tangenti alla superficie, se ne fai il prodotto vettoriale, troverai certamente un vettore normale alle derivate e quindi anche alla superficie. Quindi: $\sigma = r_x x r_y$
3- La parte finale. imposti un integrale doppio del tipo: $\int\int_{P}
Secondo Metodo (uso della divergenza):
1- trovi la divergenza di F(x,y,z)
2- Ne fai l' integrale TRIPLO. La differenza sta nel fatto che devi trovarti anche gli estremi in integrazione di Z. Dovresti fare il sistema tra $z = 4 + xy$ e il rettangolo in xy per trovare gli estremi. In questo caso mi sembra molto più comodo il primi metodo, ma quando la dvergenza del campo diventa molto semplice, o addirittura nulla, ti conviene usare il econdo metodo..
Credo di aver detto tutto..
grazie mille 
toglimi solo un' altra curiosità
spesso nella traccia dell'esercizio viene specificato anche "calcolare il flusso attraverso la superficie considerando che la seconda\terza\prima componente del vettore normale sia negativa\positiva"
ecco questo come lo traduco all'atto pratico quando vado a fare l'esercizio??
cioè praticamente se ad esempio la seconda compnente del versore normale è negativa e nella traccia mi viene detto che deve essere positiva devo mettere un meno o qualcosa del genere vero??
ecco la mia difficoltà nasce anche dal fatto che spesso però le componenti non sono dei numeri (e quindi vedo subito se è concorde o meno) ma sono funzioni di $u$ o $v$ cioè hanno delle incognite al loro interno...
come faccio??
grazie mille ancora per la tua gentilezza
toglimi solo un' altra curiosità
spesso nella traccia dell'esercizio viene specificato anche "calcolare il flusso attraverso la superficie considerando che la seconda\terza\prima componente del vettore normale sia negativa\positiva"
ecco questo come lo traduco all'atto pratico quando vado a fare l'esercizio??
cioè praticamente se ad esempio la seconda compnente del versore normale è negativa e nella traccia mi viene detto che deve essere positiva devo mettere un meno o qualcosa del genere vero??
ecco la mia difficoltà nasce anche dal fatto che spesso però le componenti non sono dei numeri (e quindi vedo subito se è concorde o meno) ma sono funzioni di $u$ o $v$ cioè hanno delle incognite al loro interno...
come faccio??
grazie mille ancora per la tua gentilezza
ah una cosa, nel primo punto del primo metodo, ho detto: puoi usare le parametriche del tipo.. ho sbagliato, sono le cartesiane queste. Cioè quando riesci ad esprimere 2 componenti attraverso la terza.
Comunque mi pareva di averti già risposta a questa domanda, anche se non capisco la frase:
ecco la mia difficoltà nasce anche dal fatto che spesso però le componenti non sono dei numeri (e quindi vedo subito se è concorde o meno) ma sono funzioni di u o v cioè hanno delle incognite al loro interno...
Forse volevi dire il contrario: se sono numeri vedi subito se è concorde o no.. In qualunque caso ti ripeto che se ti fanno questa richiesta è perchè la terza componente è un numero. Inoltre, cosa da ricordare, se usi la parametrizzazione cartesiana, esprimendo in z in funzione di x e y, la terza componente è SEMPRE un numero. Nel caso in cui il verso non sia concorde, cambi il segno a tutte le componenti del versore normale..
Comunque mi pareva di averti già risposta a questa domanda, anche se non capisco la frase:
ecco la mia difficoltà nasce anche dal fatto che spesso però le componenti non sono dei numeri (e quindi vedo subito se è concorde o meno) ma sono funzioni di u o v cioè hanno delle incognite al loro interno...
Forse volevi dire il contrario: se sono numeri vedi subito se è concorde o no.. In qualunque caso ti ripeto che se ti fanno questa richiesta è perchè la terza componente è un numero. Inoltre, cosa da ricordare, se usi la parametrizzazione cartesiana, esprimendo in z in funzione di x e y, la terza componente è SEMPRE un numero. Nel caso in cui il verso non sia concorde, cambi il segno a tutte le componenti del versore normale..
okok grazie mille rifleterò su quanto mi hai detto e ti farò sapere se ho problemi
grazie
rifleterò su quanto mi hai detto e ti farò sapere se ho problemi grazie
ciao.... anch' io stavo facendo degli esercizi simili però non ho capito come vedere se la rappresentazione e concorde o discorde....cioè faccio le derivate parziali e ne faccio il prodotto vettoriale ... mi verranno le componenti del vettore normale in fuzione delle variabili della parametrizzazione, ora come procedo per vedere se tale versore è concorde o meno con quello proposto dall' esercizio in questo caso per esempio la terza componente del versore normale deve essere negativa?!
Nel caso venga proposto di calcolare il flusso uscente come mi devo comportare con i versori?
Nel caso venga proposto di calcolare il flusso uscente come mi devo comportare con i versori?
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