Flusso attraverso semicilindro
Ciao, ho un problemino in un calcolo di un flusso, dato dal fatto che non faccio un esercizio del genere da 2 anni buoni e quindi ho un po' di nebbia in testa 
Praticamente devo calcolare il flusso di P attraverso la superficie data da metà cilindro di raggio $R$ e altezza $h$
In figura ho fatto uno schizzo della situazione vista dall'alto. P è sempre parallelo all'asse x. z lo considero uscente dal disegno.
Spero in un vostro aiuto. Grazie
Praticamente devo calcolare il flusso di P attraverso la superficie data da metà cilindro di raggio $R$ e altezza $h$
In figura ho fatto uno schizzo della situazione vista dall'alto. P è sempre parallelo all'asse x. z lo considero uscente dal disegno.
Spero in un vostro aiuto. Grazie
Risposte
se vuoi il flusso attraverso la superficie curva del semicilindro, ricorda il teorema che lega il flusso attraverso una superficie chiusa all'integrale della divergenza del campo... in questo caso la divergenza è nulla, quindi il flusso tra superficie curva e superficie "piatta" del semicilinrdo sono uguali in modulo ed opposti... ma il flusso attraverso la superficie piatta si calcola facile...
Ah ecco, grazie.. Sapevo che era più semplice di quanto pensassi. E se invece volessi calcolarlo su tutto il cilindro? Potrei fare la stessa considerazione di prima dato che la divergenza rimane nulla ma dovrei, in questo caso, calcolarlo sulla superficie curva.. Mi daresti una dritta su come fare? 
Ciao
Ciao
se vuoi il flusso su tutto il cilindro, è proprio il caso di applicare il teorema della divergenza, riguarda quanto ho scritto sopra...
nota che l'uguaglianza del flusso tra superficie curva e superficie "piatta" che dicevo prima esce proprio fuori da questo calcolo...
ps: ovviamente si prende come vero che le altre due facce piatte del semicilindro (che ha 3 facce piatte ed una curva nelle mie idee) non contribuiscono al flusso (perchè?)
a meno che non abbia capito ciò che vuoi...
nota che l'uguaglianza del flusso tra superficie curva e superficie "piatta" che dicevo prima esce proprio fuori da questo calcolo...
ps: ovviamente si prende come vero che le altre due facce piatte del semicilindro (che ha 3 facce piatte ed una curva nelle mie idee) non contribuiscono al flusso (perchè?)
a meno che non abbia capito ciò che vuoi...
Scusa, ho scritto male. Intendevo dire: se voglio il flusso attraverso la sola semisuperficie che ho riportato in figura, nel caso io consideri però il cilindro intero. In questo caso l'applicazione del teorema della divergenza non porta(a meno che non stia sbagliando) vantaggi, quindi bisogna calcolare il flusso con la definizione, o sbaglio?(ed è qui il mio problema perchè non ricordo bene come inserire nell'integrale la normale alla superficie). Tu invece, data la mia pessima spiegazione, avevi inteso il flusso attraverso tutta la superficie del cilindro, che da quanto detto sopra, è appunto nullo(e le 2 superfici che non contribuiscono sono le 2 basi, dato che sono parallele a $P$)
"Dust":
Scusa, ho scritto male. Intendevo dire: se voglio il flusso attraverso la sola semisuperficie che ho riportato in figura, nel caso io consideri però il cilindro intero.
scusa non sto capendo... dato il campo vettoriale (costante no?) e data la superificie, c'è un flusso del campo vettoriale attraverso la superficie... cosa vuol dire "nel caso io consideri però il cilindro intero"?
mi sa che non ho capito il problema...
Forse sono io che sto facendo una gran confusione... Che io scelga come superficie chiusa(sulla quale applicare il teorema della divergenza) mezzo cilindro, o il cilindro intero, il flusso attraverso la sola semisuperficie laterale del cilindro è lo stesso, vero? 
si una cosa è il problema, fissato da una superficie e dal campo... un'altra è l'applicazione del teorema della divergenza ad una qualsiasi superficie per semplificare i calcoli....
nel nostro caso:
PROBLEMA:
CAMPO=costante- SUPERFICIE=parte curva del cilindro
TRUCCO:
applico divergenza al semi-cilindro chiuso (NB: questo teorema è per superfici chiuse) e dimostro che posso cambiare la superficie (a meno di un segno) sopra con quella piatta sul quale il flusso è facile da calcolare...
nel nostro caso:
PROBLEMA:
CAMPO=costante- SUPERFICIE=parte curva del cilindro
TRUCCO:
applico divergenza al semi-cilindro chiuso (NB: questo teorema è per superfici chiuse) e dimostro che posso cambiare la superficie (a meno di un segno) sopra con quella piatta sul quale il flusso è facile da calcolare...
Se non me l'avessi detto non credo che avrei contraddetto il mio intuito
Ma anche questo è il bello della matematica.
Cmq, dato che oggi avevo riguardato un po' di teoria per fare il calcolo diretto, domani posso postarlo e farmi dire se è esatto? Così almeno vedo se il ripassino è servito
Grazie dell'aiuto e per il tempo dedicatomi.
Ciao
Ma anche questo è il bello della matematica.
Cmq, dato che oggi avevo riguardato un po' di teoria per fare il calcolo diretto, domani posso postarlo e farmi dire se è esatto? Così almeno vedo se il ripassino è servito
Grazie dell'aiuto e per il tempo dedicatomi.
Ciao
posta posta... alla fine gli integrali sono divertenti 
... poi visto che sappiamo il risultato possiamo anche verificarlo 
... poi visto che sappiamo il risultato possiamo anche verificarlo
Provo a scrivere quello che mi ricordo come procedimento
Correggetemi se sbaglio, grazie.
Ho pensato di fare così. La mia superficie(il semicilindro) in coordinate cilindriche è
$\{(x=d/2costheta),(y=d/2sintheta),(z=z):}$
quindi è parametrizzata da $theta$ e $z$ che variano in $pi/2<=theta<=3/2pi$ e $0<=z<=h$. Ora calcolo lo Jacobiano per potermi trovare poi la il versore normale alla superficie da usare nell'integrale del flusso.
$J=((x_(theta),x_z),(y_(theta),y_z),(z_(theta),z_z))=((-d/2sintheta, 0),(d/2costheta, 0),(0, 1)).$
Il vettore normale alla superficie è:
$n$=det(J)=(d/2costheta,d/2sintheta,0)$
quindi |n|$=d/2$
ed il versore è quindi
$n/|n|$=(costheta,sintheta,0)$
Ora posso calcolare il flusso:
$phi=int_SP$^^$n/|n|$dsigma
Fin qua è giusto?
Se si, ora dovrei solo moltiplicare $P$(costante) per le 3 componenti del versore normale, ottenendo 2 contributi non nulli, che sommo ed integro in $theta$, unica variabile che compare nell'espressione. In sostanza otterrei
$phi=P*h*int_0^pi(costheta)d(theta)=2Ph$ che però non è lo stesso risultato che ottengo nell'altro modo..
Correggetemi se sbaglio, grazie.
Ho pensato di fare così. La mia superficie(il semicilindro) in coordinate cilindriche è
$\{(x=d/2costheta),(y=d/2sintheta),(z=z):}$
quindi è parametrizzata da $theta$ e $z$ che variano in $pi/2<=theta<=3/2pi$ e $0<=z<=h$. Ora calcolo lo Jacobiano per potermi trovare poi la il versore normale alla superficie da usare nell'integrale del flusso.
$J=((x_(theta),x_z),(y_(theta),y_z),(z_(theta),z_z))=((-d/2sintheta, 0),(d/2costheta, 0),(0, 1)).$
Il vettore normale alla superficie è:
$n$=det(J)=(d/2costheta,d/2sintheta,0)$
quindi |n|$=d/2$
ed il versore è quindi
$n/|n|$=(costheta,sintheta,0)$
Ora posso calcolare il flusso:
$phi=int_SP$^^$n/|n|$dsigma
Fin qua è giusto?
Se si, ora dovrei solo moltiplicare $P$(costante) per le 3 componenti del versore normale, ottenendo 2 contributi non nulli, che sommo ed integro in $theta$, unica variabile che compare nell'espressione. In sostanza otterrei
$phi=P*h*int_0^pi(costheta)d(theta)=2Ph$ che però non è lo stesso risultato che ottengo nell'altro modo..
mi sa che ci sono due errori:
- l'elemento di superficie credo che l'hai scritto male perchè non ti compare il diametro?
- il prodotto scalare non è corretto, il campo vettoriale ha solo una componente non nulla;
- l'elemento di superficie credo che l'hai scritto male perchè non ti compare il diametro?
- il prodotto scalare non è corretto, il campo vettoriale ha solo una componente non nulla;
A parte il fatto che, considerando il riferimento dato all'inizio, avevo sbagliato l'intervallo su cui si estende $theta$. Ho corretto il 2° degli errori che mi hai segnalato, ma non capisco il 1° qual'è
per il $theta$ dipende da che angolo scegli.... il tuo non so quale è, ma se i tuoi estremi sono quelli dovresti anche modificarli nell'integrale...
per il secondo errore, come hai scritto l'elemento di superficie? ovvero, cosa hai sostituito al $d\sigma$?
per il secondo errore, come hai scritto l'elemento di superficie? ovvero, cosa hai sostituito al $d\sigma$?
ah... per inciso, due notazioni:
- con $n$ di solito si intende il versore normale, non un qualsiasi vettore normale;
- con il wedge si indica il prodotto vettoriale non scalare;
- con $n$ di solito si intende il versore normale, non un qualsiasi vettore normale;
- con il wedge si indica il prodotto vettoriale non scalare;
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo